Pięć błędów w myśleniu o loteriach

Najczęstsze błędy w myśleniu o loteriach sprowadzają się do jednego założenia: że losowania są ze sobą powiązane. Nie są. Kule nie wiedzą, co wypadło tydzień temu, maszyna nie prowadzi rachunków, a liczba „zaległa” nie ma żadnego mechanizmu, który kazałby jej wrócić. Poniżej pięć wariantów tego samego nieporozumienia — każdy z liczbą, która go rozstrzyga.

Złudzenie hazardzisty: liczba, która „musi już paść”

To najstarszy z tych błędów i ma nawet własną datę. W sierpniu 1913 roku w kasynie Monte Carlo kulka ruletki dwadzieścia sześć razy z rzędu zatrzymała się na czarnym. Gracze obstawiali czerwone coraz większymi sumami, przekonani, że po tylu czarnych czerwone jest „należne”. Przegrali miliony franków. Koło nie miało pamięci dwudziestu sześciu poprzednich obrotów — miało tylko kolejny obrót.

W Lotto działa to identycznie. Liczba, która nie padła od pięćdziesięciu losowań, ma w następnym losowaniu dokładnie takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia jak liczba, która padła wczoraj: sześć szans na czterdzieści dziewięć, czyli około 12,2 procent. Zaległość jest opisem tego, co się nie zdarzyło. Nie jest zapowiedzią.

Mylące jest tu słowo „musi”. Przy dużej liczbie losowań każda liczba rzeczywiście zbliża się do średniej częstości — to prawo wielkich liczb i ono działa. Ale działa przez rozcieńczenie, nie przez wyrównanie. Historyczne odchylenie nie jest kompensowane serią trafień; zostaje tam, gdzie było, tylko przestaje być widoczne w rosnącym mianowniku. Statystyki, w tym te w naszym zestawieniu statystyk Lotto, opisują przeszłość i nic poza nią.

Czy maszyna losująca coś pamięta?

Nie. Maszyna losująca to bęben z kulami o zbliżonej masie i rozmiarze, wprawiany w ruch strumieniem powietrza albo mieszadłem. Po każdym losowaniu kule wracają do bębna w komplecie. Stan wyjściowy kolejnego losowania jest taki sam jak poprzedniego — nie ma żadnego elementu układu, w którym mogłaby zostać zapisana informacja o poprzednim wyniku.

Formalnie mówi się, że losowania są niezależne: prawdopodobieństwo wyniku B po wyniku A jest równe prawdopodobieństwu samego B. To nie jest założenie upraszczające przyjęte dla wygody rachunku. To opis konstrukcji urządzenia.

Z tego wynika wniosek, który wielu graczy uznaje za kontrowersyjny: zestaw 1, 2, 3, 4, 5, 6 ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo jak każdy inny konkretny zestaw sześciu liczb. Wygląda „nielosowo”, ale to ocena estetyczna, nie statystyczna. Jedyna praktyczna różnica jest inna: taki zestaw skreśla dużo osób naraz, więc gdyby padł, nagroda podzieliłaby się na wiele części.

Gorące i zimne liczby — ile znaczy różnica w statystyce

„Gorąca” liczba to taka, która w danym okresie padała częściej od średniej. Pytanie brzmi, czy różnica jest na tyle duża, żeby świadczyć o czymkolwiek poza przypadkiem. Policzmy to na Lotto.

W Lotto z każdego losowania wypada sześć liczb z czterdziestu dziewięciu. Przy tysiącu losowań w puli pojawia się sześć tysięcy kul, więc oczekiwana liczba trafień pojedynczej liczby wynosi 6000 podzielone przez 49, czyli około 122. To średnia. Teraz rozrzut: dla rozkładu dwumianowego przy n = 1000 i p = 6/49 odchylenie standardowe wynosi pierwiastek z n·p·(1−p), czyli około 10,4.

Liczba losowań	Oczekiwane trafienia	Odchylenie standardowe	Typowy zakres (±2σ)
100	12,2	3,3	od 6 do 19
500	61,2	7,3	od 47 do 76
1 000	122,4	10,4	od 102 do 143
5 000	612,2	23,2	od 566 do 659

Rozkład dwumianowy dla Lotto, p = 6/49 ≈ 0,1224. Zakres ±2σ obejmuje około 95 procent przypadków przy losowaniu w pełni przypadkowym.

Odczytajmy wiersz z tysiącem losowań. Liczba, która padła 143 razy przy średniej 122, wygląda w zestawieniu jak wyraźnie „gorąca” — jest o jedną piątą powyżej średniej. Tymczasem mieści się w typowym zakresie rozrzutu, jakiego oczekujemy od czystego przypadku. Żeby podejrzewać cokolwiek innego niż przypadek, różnica musiałaby być znacznie większa i utrzymywać się przy rosnącej liczbie losowań — a przy rosnącym n zakres ±2σ rośnie wolniej niż sama średnia, więc odchylenia procentowo maleją.

Praktyczna konsekwencja: ranking liczb od najczęstszej do najrzadszej istnieje zawsze, także dla danych generowanych przez idealny generator losowy. Ktoś musi być pierwszy. To, że liczba stoi na szczycie listy, samo w sobie nie niesie informacji o przyszłości. Zobaczyć rozkład warto — po to są mapy cieplne liczb — ale jako obraz historii, nie prognozę.

Czy system skrócony zwiększa prawdopodobieństwo trafienia szóstki?

Nie. System gwarantuje strukturę trafień, a nie samo trafienie. To rozróżnienie decyduje o wszystkim i bywa zacierane w opisach reklamowych.

System pełny na dziesięć liczb to wszystkie możliwe zakłady sześcioelementowe z tej dziesiątki: dwieście dziesięć kuponów. Jeśli wszystkie sześć wylosowanych liczb znajdzie się w Twojej dziesiątce, szóstka jest pewna, bo jeden z tych dwustu dziesięciu zakładów to dokładnie ten zestaw. System skrócony wybiera z tych dwustu dziesięciu podzbiór — powiedzmy dwadzieścia kuponów — dobrany tak, by przy sześciu trafionych w dziesiątce zagwarantować co najmniej czwórkę. Za dwudziestą piątą część ceny dostajesz gwarancję niższego stopnia.

Kluczowe jest to, co zostało w warunku: „jeśli wszystkie sześć znajdzie się w Twojej dziesiątce”. Prawdopodobieństwo, że tak się stanie, wynika wyłącznie z tego, że obstawiłeś dziesięć liczb z czterdziestu dziewięciu, a nie z tego, jak je poukładałeś w kuponach. Wynosi ono stosunek liczby kombinacji sześcioelementowych z dziesięciu do liczby kombinacji sześcioelementowych z czterdziestu dziewięciu, czyli 210 do 13 983 816 — mniej więcej jeden do sześćdziesięciu sześciu tysięcy. System nie rusza tej liczby ani o włos.

System jest więc narzędziem zarządzania kosztem i rozkładem wygranych niższych stopni, nie narzędziem podnoszenia szansy. Opis konstrukcji i przykłady znajdziesz w naszym przeglądzie systemów skróconych i pełnych. Jeśli gdziekolwiek czytasz, że jakikolwiek sposób skreślania podnosi prawdopodobieństwo trafienia szóstki, masz do czynienia z materiałem reklamowym.

Dlaczego ktoś zawsze wygrywa, skoro szansa jest tak mała

To piąty błąd i działa w drugą stronę niż poprzednie: nie przeceniamy tu własnej szansy, tylko mylimy ją z szansą zbioru. Prawdopodobieństwo szóstki z jednego zakładu w Lotto to jeden do 13 983 816 — tyle wynosi liczba kombinacji sześcioelementowych z czterdziestu dziewięciu. Ta liczba nie zmienia się przez to, że ktoś inny gra.

Jednocześnie, gdy w jednym losowaniu bierze udział kilka milionów zakładów, szansa, że przynajmniej jeden z nich trafi wszystkie sześć liczb, staje się całkiem przyzwoita. To dwa różne pytania o dwa różne zdarzenia: „czy trafię ja” i „czy trafi ktokolwiek”. Wiadomość o wygranej odpowiada na drugie, a intuicja przenosi ją na pierwsze.

Do tego dochodzi to, czego w mediach nie widać. Nagłówek powstaje po każdej szóstce i nigdy po żadnym z milionów kuponów, które przepadły. Powstaje więc obraz, w którym wygrane wydają się częstsze, niż są — nie dlatego, że ktoś kłamie, tylko dlatego, że przegrane nie mają swojego gatunku newsa.

Skala tej liczby jest trudna do wyobrażenia i warto ją sobie przełożyć. Gdyby wydrukować wszystkie 13 983 816 kombinacji Lotto, po jednej na wierszu, powstałby stos papieru wysoki na kilkaset metrów. Twój kupon to jeden wiersz w tym stosie.

Co z tego wynika dla grającego

Żaden z powyższych punktów nie prowadzi do wniosku, że nie należy grać. Prowadzi do wniosku, że gra jest rozrywką o znanej z góry cenie, a nie strategią finansową. Wszystko, co obiecuje przewagę — analiza zaległości, wybór gorących liczb, kupowanie „sprawdzonych” zestawów — opiera się na jednym z pięciu opisanych błędów.

Praktycznie zostają dwie rzeczy, na które masz wpływ. Pierwsza to kwota, którą przeznaczasz — ustalona zawczasu i niezwiększana po serii przegranych, bo to właśnie złudzenie hazardzisty w działaniu. Druga to unikanie zestawów popularnych, jeśli zależy Ci na tym, by przy trafieniu nie dzielić nagrody: daty urodzenia ograniczone do 31, ciągi arytmetyczne, wzory z kuponu. Nie zmieni to prawdopodobieństwa trafienia, ale zmieni wysokość ewentualnej wygranej.

Jeśli chcesz mieć zestaw wolny od własnych przyzwyczajeń, wystarczy generator chybił trafił. Nie zwiększy szansy — nic jej nie zwiększa poza liczbą zakładów — ale zdejmuje z Ciebie decyzję, która i tak nie ma znaczenia statystycznego.