Suma losowania i dlaczego środek jest gęstszy

Kto przegląda archiwum wyników, prędzej czy później zauważa, że sumy skrajne praktycznie nie występują. Powód jest arytmetyczny: sumę 21 daje dokładnie jedna kombinacja, sumę 22 również jedna, a sum bliskich środkowi jest tyle, że nikt ich nie wypisuje z ręki. Poniżej rozkładamy to na czynniki i pokazujemy, jak samodzielnie policzyć widełki dla dowolnej gry liczbowej.

Jak policzyć minimum, maksimum i środek

Reguła jest krótka. Minimum to suma najmniejszych liczb, czyli 1 + 2 + … + k, gdzie k to liczba typowanych pozycji. Maksimum to suma największych, czyli k kolejnych liczb kończących się na górnej granicy puli. Środek rozkładu to średnia arytmetyczna obu skrajności — i jednocześnie wartość oczekiwana sumy, bo rozkład jest symetryczny względem tego punktu.

Symetria bierze się stąd, że każdej kombinacji da się przyporządkować jej „odbicie”: liczbę n zamieniamy na (pula + 1 − n). Odbicie kombinacji o sumie S ma sumę równą k·(pula + 1) − S. Skoro odwzorowanie jest wzajemnie jednoznaczne, kombinacji o sumie S jest dokładnie tyle samo co o sumie odbitej. Stąd wykres liczby kombinacji jest lustrzany, a jego oś przechodzi przez środek.

Widełki sum dla sześciu gier

Tabela zawiera wartości policzone wprost z parametrów gier: liczby typowanych pozycji i wielkości puli. Nie są to dane historyczne, lecz twarde granice arytmetyczne — żaden wynik nie może wypaść poza nimi. Kolumna „środek” to punkt, wokół którego skupia się najwięcej kombinacji.

Gra	Typujesz	Pula	Suma min.	Suma maks.	Środek
Lotto	6	49	21	279	150
Lotto Plus	6	49	21	279	150
Mini Lotto	5	42	15	200	107,5
Eurojackpot (5 z 50)	5	50	15	240	127,5
Kaskada	12	24	78	222	150
Multi Multi	20	80	210	1410	810

Wartości wynikają z parametrów gier podanych w regulaminach Totalizatora Sportowego. Dla Eurojackpota podano zakres samych liczb głównych — dwie liczby dodatkowe z puli 1–12 liczy się osobno i nie wlicza do tej sumy. Środek dla Mini Lotto i Eurojackpota wypada na połówce, bo minimum i maksimum mają różną parzystość.

Dlaczego środek jest gęstszy

Weźmy Lotto. Sumę 21 daje jeden jedyny zestaw: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sumę 22 też jeden: 1, 2, 3, 4, 5, 7. Przy sumie 23 są już dwa zestawy, przy 24 trzy, i liczba możliwości rośnie z każdym krokiem. W okolicach 150 kombinacji jest tak wiele, że stanowią one znaczącą część wszystkich 13 983 816 zestawów sześciu liczb z czterdziestu dziewięciu.

Ta nierównomierność nie ma nic wspólnego z mechanizmem losowania. Bęben nie „woli” środka — każdy pojedynczy zestaw sześciu liczb ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo, niezależnie od tego, czy sumuje się do 21, czy do 150. Różnica polega wyłącznie na tym, ile różnych zestawów prowadzi do tej samej sumy. Pytanie „jakie jest prawdopodobieństwo sumy 150” i pytanie „jakie jest prawdopodobieństwo zestawu 1-2-3-4-5-6” to dwa zupełnie różne pytania.

To rozróżnienie jest sednem sprawy i jednocześnie najczęściej mylonym miejscem. Obstawienie zestawu o „typowej” sumie nie zwiększa szansy na trafienie ani o ułamek procenta. Zmienia się tylko to, z iloma innymi graczami trzeba by dzielić ewentualną nagrodę — a to już kwestia zachowań ludzi, nie losowania.

Percentyl ostatniego wyniku — jak go czytać

Percentyl sumy odpowiada na pytanie: jaki odsetek wcześniejszych losowań miał sumę niższą od tego, które właśnie padło. Wynik na 50. percentylu oznacza, że połowa historii leżała niżej, a połowa wyżej. Wynik na 95. percentylu to suma wysoka — przewyższa dziewięćdziesiąt pięć procent poprzednich losowań.

Percentyl bywa źle rozumiany. Nie mówi on nic o tym, co padnie następnym razem, i nie sygnalizuje żadnego „wyrównania”. Jeżeli trzy losowania z rzędu miały sumę powyżej 200, to nie oznacza, że czwarte będzie niskie — bęben nie prowadzi rachunku. Percentyl jest opisem tego, co już się wydarzyło, i tylko w tej roli ma sens.

Ma za to jedno praktyczne zastosowanie: pozwala szybko ocenić, czy wynik był nietypowy. Suma 45 albo 255 w Lotto to zdarzenie rzadkie właśnie dlatego, że prowadzi do niej garstka kombinacji. Zestawienia sum w podziale na losowania znajdziesz w statystykach Lotto, a rozkład trafień poszczególnych liczb — na mapach cieplnych.

Suma a rozstęp: dwie różne miary

Suma nie mówi wszystkiego o kształcie zestawu. Zestaw 24, 25, 26, 27, 28, 29 sumuje się do 159, podobnie jak 1, 12, 23, 34, 45, 44 — a wyglądają zupełnie inaczej. Drugą miarą, którą warto obejrzeć obok sumy, jest rozstęp, czyli różnica między największą a najmniejszą liczbą w zestawie.

Rozstęp również ma rozkład niesymetrycznie skupiony: sześć liczb z puli czterdziestu dziewięciu rzadko mieści się w wąskim przedziale, bo takich zestawów jest niewiele. Obie miary razem opisują zestaw pełniej niż każda osobno, lecz żadna z nich — ani suma, ani rozstęp — nie pozwala przewidzieć kolejnego losowania.

Jak policzyć sumę dla własnego zestawu

Wystarczy dodać liczby i porównać wynik z widełkami z tabeli. Jeśli chcesz zobaczyć, jak rozkładają się sumy zestawów wygenerowanych losowo, możesz je wygenerować w generatorze chybił trafił i dodać samodzielnie. Przy kilkunastu próbach większość wyników wypadnie w okolicach środka — dokładnie z tego powodu, który opisaliśmy wyżej.

• Suma bliska środkowi jest częsta, bo prowadzi do niej najwięcej kombinacji.
• Suma skrajna jest rzadka z tego samego powodu, odwróconego.
• Pojedynczy zestaw ma zawsze to samo prawdopodobieństwo, niezależnie od swojej sumy.
• Percentyl opisuje przeszłość i nie zapowiada przyszłych losowań.