Rozkład hipergeometryczny bez tajemnic — losowanie kul, kart i liczb Lotto

Na lekcjach rachunku prawdopodobieństwa ten rozkład pojawia się zwykle jako zadanie o kulach w urnie. W praktyce opisuje każdą sytuację, w której wyciągamy elementy i nie odkładamy ich z powrotem: kontrolę jakości partii towaru, rozdanie kart i losowanie liczb w grach liczbowych. Każdy przykład z tego tekstu możesz sprawdzić w kalkulatorze rozkładu hipergeometrycznego.

Losowanie bez zwracania

Wyobraź sobie urnę z 10 kulami, z których 4 są czerwone. Szansa, że pierwsza wylosowana kula będzie czerwona, wynosi 4 z 10. Jeśli rzeczywiście wyjmiesz czerwoną i nie odłożysz jej, w urnie zostaje 9 kul, w tym 3 czerwone — szansa na czerwoną w drugim ruchu spada do 3 z 9. Każde wyciągnięcie zmienia skład tego, co zostało.

To różnica wobec losowania ze zwracaniem, w którym kulę odkłada się po każdym ruchu i szansa zostaje stała. Losowanie ze zwracaniem opisuje rozkład dwumianowy, a bez zwracania — hipergeometryczny.

Cztery liczby: N, K, n i k

• N — liczba wszystkich elementów populacji (kul w urnie, kart w talii, liczb w puli).
• K — ile z nich to „sukcesy” (czerwone kule, asy, liczby, które zostaną wylosowane).
• n — ile elementów losujesz (wielkość próby).
• k — o ile sukcesów w próbie pytasz.

Nie każde k jest możliwe. Nie wylosujesz więcej sukcesów, niż jest w próbie ani w populacji, więc k ≤ min(n, K). Jeśli porażek jest mało, duża próba musi zawierać sukcesy: k ≥ max(0, n − (N − K)). Dla wartości spoza tego zakresu prawdopodobieństwo wynosi 0.

Wzór krok po kroku

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)

1. C(N, n) — liczba wszystkich możliwych prób: na ile sposobów można wybrać n elementów z N, bez kolejności. To mianownik.
2. C(K, k) — na ile sposobów można wybrać k sukcesów spośród K.
3. C(N − K, n − k) — na ile sposobów można dobrać pozostałe n − k elementów spośród porażek.
4. Iloczyn dwóch ostatnich liczb to liczba prób z dokładnie k sukcesami. Dzielimy ją przez liczbę wszystkich prób.

Symbol C(n, k) to symbol Newtona — jego liczenie pokazujemy w artykule Jak oblicza się szanse w Lotto.

Przykład szkolny: kule w urnie

W urnie jest 10 kul, w tym 4 czerwone. Losujemy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 będą czerwone? Tutaj N = 10, K = 4, n = 3, k = 2.

1. Wszystkie próby: C(10, 3) = 10 × 9 × 8 ÷ 6 = 120.
2. Wybór 2 czerwonych z 4: C(4, 2) = 6.
3. Wybór 1 kuli nieczerwonej z 6: C(6, 1) = 6.
4. Próby korzystne: 6 × 6 = 36.
5. P(X = 2) = 36 ÷ 120 = 0,3, czyli 30%.

Tak samo liczymy pozostałe wartości. Suma wszystkich wierszy to 120 ÷ 120 = 1 — któraś liczba czerwonych kul zawsze wypadnie.

k	Próby korzystne	P(X = k)
0	C(4, 0) × C(6, 3) = 20	20/120 ≈ 16,7%
1	C(4, 1) × C(6, 2) = 60	60/120 = 50%
2	C(4, 2) × C(6, 1) = 36	36/120 = 30%
3	C(4, 3) × C(6, 0) = 4	4/120 ≈ 3,3%

Liczba czerwonych kul wśród 3 wylosowanych (10 kul, 4 czerwone)

Przykład z kartami

Talia ma 52 karty, w tym 4 asy. Dostajesz 5 kart. Jaka jest szansa, że masz dokładnie jednego asa? N = 52, K = 4, n = 5, k = 1.

1. Wszystkie rozdania: C(52, 5) = 2 598 960.
2. Jeden as z czterech: C(4, 1) = 4.
3. Cztery karty spośród 48 niebędących asami: C(48, 4) = 194 580.
4. Rozdania korzystne: 4 × 194 580 = 778 320.
5. P(X = 1) = 778 320 ÷ 2 598 960 ≈ 0,2995, czyli ok. 29,95%.

Pytanie o co najmniej jednego asa łatwiej policzyć przez zdarzenie przeciwne: brak asa to C(48, 5) = 1 712 304 rozdań, więc P(X ≥ 1) = 1 − 1 712 304 ÷ 2 598 960 ≈ 34,12%.

Przykład z loterii: trafienia w Lotto

W Lotto populacja to 49 liczb. Sukcesami jest 6 liczb, które zostaną wylosowane, a Twoja próba to 6 skreślonych liczb. N = 49, K = 6, n = 6, a k to liczba trafień. Mianownik to C(49, 6) = 13 983 816.

Trafienia k	Zestawy korzystne	P(X = k)
0	C(6, 0) × C(43, 6) = 6 096 454	≈ 43,60%
1	C(6, 1) × C(43, 5) = 5 775 588	≈ 41,30%
2	C(6, 2) × C(43, 4) = 1 851 150	≈ 13,24%
3	C(6, 3) × C(43, 3) = 246 820	≈ 1,765%
4	C(6, 4) × C(43, 2) = 13 545	≈ 0,0969%
5	C(6, 5) × C(43, 1) = 258	≈ 0,00184%
6	C(6, 6) × C(43, 0) = 1	≈ 0,0000072%

Liczba trafień w Lotto (6 z 49)

Zestawy korzystne sumują się do 13 983 816, więc prawdopodobieństwa do 1. Widać też rzecz, która zaskakuje wielu graczy: najczęstszym wynikiem zakładu jest zero trafień, a tuż za nim jedno. Ten sam rachunek dla Keno (20 liczb losowanych z 70) pokazuje kalkulator szans w Keno.

Wartość oczekiwana i wariancja

E(X) = n × K ÷ N

Var(X) = n × K/N × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1)

W Lotto E(X) = 6 × 6 ÷ 49 ≈ 0,735 — średnio trochę mniej niż jedno trafienie na zakład. Wariancja to 6 × 6/49 × 43/49 × 43/48 ≈ 0,578, a odchylenie standardowe ≈ 0,76. Wartość oczekiwana to średnia z bardzo wielu zakładów, a nie przewidywanie wyniku jednego kuponu.

Ostatni czynnik, (N − n)/(N − 1), to poprawka na losowanie bez zwracania. Gdy n = N, wynosi 0: jeśli wyciągasz wszystkie elementy, wynik jest pewny i wariancja znika. Dla N = 1 wzoru nie da się zastosować wprost (dzielenie przez zero), ale wynik też jest pewny, więc wariancja wynosi 0 — tak liczy kalkulator.

Hipergeometryczny czy dwumianowy?

Jeśli populacja jest bardzo duża w porównaniu z próbą, wyjęcie kilku elementów prawie nie zmienia proporcji i oba rozkłady dają podobne wyniki. W urnie z 10 kulami albo w talii kart różnica jest wyraźna — tam trzeba liczyć hipergeometrycznie. W loterii też: maszyna nie odkłada wylosowanych kul.

Ćwiczenia

Poziom: szkoła średnia i wprowadzenie akademickie. Każde ćwiczenie ma odsyłacz do kalkulatora z wpisanymi danymi.

Ćwiczenie 1. Niebieskie kule

W urnie jest 12 kul, w tym 5 niebieskich. Losujesz 4 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 będą niebieskie?

Pokaż rozwiązanie

1. N = 12, K = 5, n = 4, k = 2.
2. Wszystkie próby: C(12, 4) = 495.
3. C(5, 2) = 10 i C(7, 2) = 21, więc prób korzystnych jest 10 × 21 = 210.
4. P(X = 2) = 210 ÷ 495 = 14/33 ≈ 0,4242.

Odpowiedź: ok. 42,42%.

Sprawdź w kalkulatorze

Ćwiczenie 2. Co najmniej jeden kier

Z talii 52 kart (13 kierów) dostajesz 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że masz co najmniej jednego kiera?

Pokaż rozwiązanie

1. Zdarzenie przeciwne: zero kierów, czyli 5 kart z 39 pozostałych.
2. C(39, 5) = 575 757, a C(52, 5) = 2 598 960.
3. P(X = 0) = 575 757 ÷ 2 598 960 ≈ 0,2215.
4. P(X ≥ 1) = 1 − 0,2215 = 0,7785.

Odpowiedź: ok. 77,85% (w kalkulatorze wiersz P(X ≥ k) dla k = 1).

Sprawdź w kalkulatorze

Ćwiczenie 3. Kontrola jakości

W partii 50 sztuk są 3 wadliwe. Kontroler bierze losowo 5 sztuk. Jaka jest szansa, że nie znajdzie żadnej wadliwej?

Pokaż rozwiązanie

1. N = 50, K = 3, n = 5, k = 0.
2. C(47, 5) = 1 533 939 — próby bez wadliwych sztuk.
3. C(50, 5) = 2 118 760 — wszystkie próby.
4. P(X = 0) = 1 533 939 ÷ 2 118 760 ≈ 0,7240.

Odpowiedź: ok. 72,40% — kontrola 5 sztuk łatwo przepuszcza taką partię.

Sprawdź w kalkulatorze

Ćwiczenie 4. Średnia w Keno

W Keno losuje się 20 liczb z 70. Wybierasz 10 liczb. Ile trafień przypada średnio na zakład?

Pokaż rozwiązanie

1. N = 70, K = 20, n = 10.
2. E(X) = n × K ÷ N = 10 × 20 ÷ 70 ≈ 2,857.

Odpowiedź: średnio ok. 2,86 trafienia; najczęstszy pojedynczy wynik to 3 trafienia (ok. 28,7%).

Zobacz pełną tabelę w kalkulatorze

Policz sam

• Kalkulator rozkładu hipergeometrycznego — P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), tabela, średnia i wariancja.
• Kalkulator szans wygranej — ten sam wzór w wersji dla loterii, także z dwiema pulami.
• Kalkulator szans w Keno — pełny rozkład trafień dla 1–20 liczb.
• Akademia prawdopodobieństwa — wszystkie kalkulatory i artykuły.