Jak oblicza się szanse w Lotto? Kombinacje, symbol Newtona i przykład 6 z 49

Liczba 13 983 816 pojawia się w każdym tekście o Lotto, ale rzadko ktoś pokazuje, skąd się bierze. Tymczasem to jeden z najprostszych przykładów kombinatoryki ze szkoły średniej: wystarczy zrozumieć, czym jest kombinacja, i policzyć jeden ułamek. Każdy krok możesz sprawdzić w kalkulatorze kombinacji albo w kalkulatorze szans wygranej.

Czym jest kombinacja

Kombinacja to wybór kilku elementów ze zbioru, w którym nie liczy się kolejność. Weźmy mały przykład: pięć kul z numerami 1, 2, 3, 4 i 5, z których wybieramy trzy. Wszystkie możliwe wybory to:

1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, 1-3-4, 1-3-5, 1-4-5, 2-3-4, 2-3-5, 2-4-5, 3-4-5.

Jest ich dziesięć. Zestaw 3-1-2 nie jest nowym wyborem — to te same trzy kule co 1-2-3, tylko wypisane w innej kolejności. Liczbę kombinacji k elementów z n oznaczamy C(n, k) albo symbolem Newtona. Tutaj C(5, 3) = 10.

Dlaczego kolejność liczb nie ma znaczenia

Kupon Lotto jest zbiorem liczb, a nie ich ciągiem. Maszyna wyrzuca kule w przypadkowej kolejności, ale wygraną sprawdza się tylko po tym, czy Twoje liczby są wśród wylosowanych. Dlatego liczymy kombinacje, a nie ustawienia.

Łatwo to pokazać na przykładzie z pięcioma kulami. Gdyby kolejność miała znaczenie, pierwszą kulę wybieralibyśmy na 5 sposobów, drugą na 4, trzecią na 3 — razem 5 × 4 × 3 = 60 ciągów. Ale każdy zbiór trzech kul da się ustawić na 3! = 3 × 2 × 1 = 6 sposobów, więc w tych 60 ciągach każdy zbiór występuje sześć razy. Kombinacji jest 60 ÷ 6 = 10 — dokładnie tyle, ile wypisaliśmy wyżej.

Symbol Newtona — wzór

To samo rozumowanie w ogólnej postaci daje wzór:

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Wykrzyknik oznacza silnię: n! to iloczyn wszystkich liczb od 1 do n, np. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. W liczniku liczymy wszystkie ustawienia, a dzielenie przez k! usuwa różne kolejności tego samego zbioru. Przy dużych liczbach silnie są ogromne, więc w praktyce liczy się krócej — tak, jak w przykładzie niżej.

Obliczenie C(49, 6) krok po kroku

Sposób pierwszy — przez ciągi, tak jak dla pięciu kul:

1. Pierwszą liczbę wybierasz na 49 sposobów, drugą na 48, i tak dalej: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10 068 347 520 ciągów.
2. Każdy zestaw sześciu liczb da się ustawić na 6! = 720 sposobów.
3. Liczba zestawów: 10 068 347 520 ÷ 720 = 13 983 816.

Sposób drugi — mnożenie i dzielenie na zmianę. Wynik po każdym kroku jest liczbą całkowitą, więc łatwo go sprawdzić na kalkulatorze:

Krok	Działanie	Wynik
k = 1	49 ÷ 1	49
k = 2	49 × 48 ÷ 2	1 176
k = 3	1 176 × 47 ÷ 3	18 424
k = 4	18 424 × 46 ÷ 4	211 876
k = 5	211 876 × 45 ÷ 5	1 906 884
k = 6	1 906 884 × 44 ÷ 6	13 983 816

C(49, k) dla kolejnych k — każdy wiersz to poprzedni pomnożony i podzielony

Po drodze dostajesz bonus: C(49, 5) = 1 906 884 to liczba wszystkich możliwych piątek z 49 liczb.

Prawdopodobieństwo a szansa „1 do X”

Wszystkie zestawy są jednakowo prawdopodobne, a wygrywa dokładnie jeden. Prawdopodobieństwo szóstki to więc:

P = 1 ÷ 13 983 816 ≈ 0,0000000715 = 0,00000715%

Zapis „1 do 13 983 816” to odwrotność tego prawdopodobieństwa: mówi, na ile równie możliwych przypadków przypada jeden korzystny. W języku potocznym oba zapisy znaczą to samo. W ścisłym języku zakładów „kurs” liczy się inaczej — jako stosunek przypadków niekorzystnych do korzystnych, czyli 13 983 815 : 1 — ale przy tak dużych liczbach różnica jednej jednostki niczego nie zmienia.

Uwaga na częsty błąd: 0,0000000715 i 0,00000715% to ta sama liczba. Procent to po prostu prawdopodobieństwo pomnożone przez 100.

Szanse na trójkę, czwórkę i piątkę

Dla niższych stopni liczymy, na ile sposobów można trafić dokładnie k z 6 wylosowanych liczb i jednocześnie 6 − k z pozostałych 43. To rozkład hipergeometryczny — dokładnie opisujemy go w artykule Rozkład hipergeometryczny bez tajemnic.

Trafienia	Korzystne zestawy	Szansa
6	1	1 do 13 983 816
5	6 × 43 = 258	1 do 54 201
4	15 × 903 = 13 545	1 do 1 032
3	20 × 12 341 = 246 820	1 do 56,66

Trafienia w Lotto — liczba korzystnych zestawów i szansa

Na przykład dla trójki: C(6, 3) = 20 sposobów wyboru trzech trafionych liczb i C(43, 3) = 12 341 sposobów wyboru trzech chybionych. Razem 20 × 12 341 = 246 820 zestawów, a 13 983 816 ÷ 246 820 ≈ 56,66.

Przykład: kilka zakładów i wiele losowań

Dziesięć różnych zakładów na jedno losowanie obejmuje dziesięć różnych zestawów z 13 983 816. Szansa na szóstkę to wtedy dokładnie 10 ÷ 13 983 816, czyli 1 do 1 398 381,6 — dziesięć razy większa i dziesięć razy droższa. Każdy pojedynczy zakład ma nadal 1 szansę na 13 983 816.

Inaczej wygląda gra przez wiele losowań. Jeden zakład w każdym ze 156 losowań w roku daje szansę na co najmniej jedną szóstkę równą 1 − (1 − p)¹⁵⁶, gdzie p = 1 ÷ 13 983 816. To ok. 0,0011%, czyli mniej więcej 1 do 89 640. Wynik prawie równa się 156 × p, bo przy tak małym p szanse po prostu się sumują. Oba przypadki policzysz w kalkulatorze szans przy wielu zakładach, a koszt systemu pełnego — w kalkulatorze systemów.

Ćwiczenia

Poziom: szkoła średnia. Najpierw spróbuj policzyć sam, potem rozwiń rozwiązanie.

Ćwiczenie 1. Mini Lotto

Ile różnych zakładów można skreślić w grze 5 z 42?

Pokaż rozwiązanie

1. Liczymy kombinacje: C(42, 5) = 42 × 41 × 40 × 39 × 38 ÷ 5!.
2. Licznik: 42 × 41 × 40 × 39 × 38 = 102 080 160.
3. 5! = 120, więc 102 080 160 ÷ 120 = 850 668.

Odpowiedź: 850 668 zakładów, czyli szansa na piątkę 1 do 850 668.

Sprawdź w kalkulatorze kombinacji

Ćwiczenie 2. Trzy zakłady

Kupujesz trzy różne zakłady Lotto na to samo losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo szóstki?

Pokaż rozwiązanie

1. Trzy różne zakłady to trzy różne zestawy spośród 13 983 816.
2. Zdarzenia „wygrywa zakład 1”, „wygrywa zakład 2”, „wygrywa zakład 3” wykluczają się, więc prawdopodobieństwa dodajemy.
3. P = 3 ÷ 13 983 816 = 1 ÷ 4 661 272.

Odpowiedź: 1 do 4 661 272 (ok. 0,0000215%).

Porównaj z kalkulatorem wielu zakładów

Ćwiczenie 3. System 8 i system 10

Ile razy więcej zakładów obejmuje system pełny z 10 liczb niż z 8 liczb w Lotto?

Pokaż rozwiązanie

1. System z 8 liczb: C(8, 6) = 28 zakładów.
2. System z 10 liczb: C(10, 6) = 210 zakładów.
3. 210 ÷ 28 = 7,5.

Odpowiedź: 7,5 razy więcej zakładów — i 7,5 razy wyższy koszt.

Policz koszt w kalkulatorze systemów

Ćwiczenie 4. Z „1 do X” na procent

Zamień szansę 1 do 850 668 na procent.

Pokaż rozwiązanie

1. Prawdopodobieństwo to 1 ÷ 850 668 ≈ 0,0000011755.
2. Procent: 0,0000011755 × 100 = 0,00011755%.

Odpowiedź: ok. 0,000118%.

Zobacz w kalkulatorze szans

Policz sam

• Kalkulator kombinacji, wariacji i permutacji — C(n, k) z każdym krokiem.
• Kalkulator szans wygranej — dowolna liczba trafień w Lotto, Eurojackpot i własnej loterii.
• Szanse przy wielu zakładach — co zmienia więcej zakładów i losowań.
• Akademia prawdopodobieństwa — wszystkie kalkulatory i artykuły w jednym miejscu.