Rozkład hipergeometryczny — losowanie bez zwracania

Populacja N elementów zawiera K „sukcesów”. Losujesz n elementów bez zwracania. Jak prawdopodobne jest, że dokładnie k z nich to sukcesy? Wybierz przykład albo wpisz własne liczby.

Przykład

Przykład tylko wpisuje liczby — wzór jest zawsze ten sam. Zmiana dowolnej liczby przełącza na „Własne wartości”.

Liczba elementów populacji (N)

Wszystkie elementy, z których losujesz, np. 52 karty albo 49 liczb Lotto.

Sukcesy w populacji (K)

Elementy, które liczą się jako sukces, np. 4 asy albo 6 liczb, które zostaną wylosowane.

Wielkość próby (n)

Ile elementów losujesz bez zwracania.

Sukcesy w próbie (k)

Liczba sukcesów, o którą pytasz. X przyjmuje tylko wartości od max(0, n − (N − K)) do min(n, K).

P(X = k): 1,77%

To samo jako: —
P(X ≤ k): —
P(X ≥ k): —
Wartość oczekiwana E(X): —
Wariancja Var(X): —
Odchylenie standardowe σ: —
Możliwe wartości X: —
Słownie: —

Pełny rozkład zmiennej X

Każda możliwa wartość X z P(X = k), P(X ≤ k) i P(X ≥ k)
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
Ustaw pola powyżej — wynik policzy się na tej stronie.

Kolumna P(X = k) sumuje się do 100%. P(X ≤ k) rośnie, a P(X ≥ k) maleje z wiersza na wiersz; wyróżniony wiersz to Twoje k.

Co wynika z tych liczb?

Wynik dla ustawień powyżej: 1,77%. Przelicza się od razu po zmianie dowolnego pola.
Liczymy ze wzoru podanego niżej — nie z modelu przewidywań i nie z historii losowań.
Wynik główny dotyczy dokładnie k sukcesów. „Co najwyżej” sumuje od zera do k, a „co najmniej” od k do końca możliwego zakresu.
Przykład urny: N = 10, K = 4, n = 3, k = 2 daje 30%. Losowanie odbywa się bez zwracania.

Populacja jest skończona, a elementy losowane bez zwracania. Rozkład dwumianowy wymaga niezależnych prób ze stałym prawdopodobieństwem; nie jest zawsze zamiennikiem tego modelu.

Jak korzystać z tej strony?

Ustaw pola w formularzu powyżej — wynik przeliczy się od razu, bez przeładowania strony.
Pod wynikiem znajdziesz skalę interpretacji, jeśli kalkulator ją ma: mówi, w którym przedziale wylądowała Twoja wartość.
Wzór, z którego liczymy, stoi niżej na tej stronie — możesz sprawdzić rachunek samodzielnie.
Chcesz policzyć to samo dla innej gry lub wariantu — zmień go w polu wyboru, ceny i pule podstawią się same.

Czego ta strona nie robi: Populacja jest skończona, a elementy losowane bez zwracania. Rozkład dwumianowy wymaga niezależnych prób ze stałym prawdopodobieństwem; nie jest zawsze zamiennikiem tego modelu.

Gdzie doczytać

Wzór

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)   ·   E(X) = n × K/N   ·   Var(X) = n × K/N × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1)

N to liczba elementów populacji, K liczba sukcesów w niej, n wielkość próby, a k liczba sukcesów w próbie. C(a, b) to symbol Newtona. X przyjmuje wartości od max(0, n − (N − K)) do min(n, K). Dla N = 1 (albo n = N) wariancja wynosi 0 — wynik losowania jest wtedy pewny.

Teoria — czym jest rozkład hipergeometryczny?

Rozkład hipergeometryczny opisuje losowanie bez zwracania z populacji N elementów, z których K to „sukcesy”. Każdy wyjęty element zmienia skład tego, co pozostało, dlatego szansa na sukces w kolejnym losowaniu zależy od wcześniejszych wyników. Dokładnie tak zachowują się kule w maszynie losującej, karty rozdawane z talii czy próbka produktów pobrana do kontroli jakości. Różni się to od rozkładu dwumianowego, który zakłada losowanie ze zwracaniem i stałą szansę sukcesu w każdej próbie.

Czytaj więcej

Najczęstsze pytania

Czym rozkład hipergeometryczny różni się od dwumianowego?

Rozkład dwumianowy zakłada losowanie ze zwracaniem, więc szansa sukcesu jest za każdym razem taka sama. Rozkład hipergeometryczny dotyczy losowania bez zwracania, w którym każde losowanie zmienia to, co zostało. Przy dużej populacji i małej próbie oba dają zbliżone wyniki.

Dlaczego P(X ≥ k) nie równa się 1 − P(X ≤ k)?

Bo oba obejmują wiersz X = k. Poprawna zależność to P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) — możesz to sprawdzić w tabeli.

Rozkład hipergeometryczny — losowanie bez zwracania

Pełny rozkład zmiennej X

Wzór

Czytaj więcej

Najczęstsze pytania

Zobacz także

Cale na cm — przelicznik długości

Dawne jednostki długości — przelicznik

Funty na kg — przelicznik masy

Moje kupony

Powiadomienia po losowaniach