Rozkład hipergeometryczny — losowanie bez zwracania
Populacja N elementów zawiera K „sukcesów”. Losujesz n elementów bez zwracania. Jak prawdopodobne jest, że dokładnie k z nich to sukcesy? Wybierz przykład albo wpisz własne liczby.
Pełny rozkład zmiennej X
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| Ustaw pola powyżej — wynik policzy się na tej stronie. | |||
Kolumna P(X = k) sumuje się do 100%. P(X ≤ k) rośnie, a P(X ≥ k) maleje z wiersza na wiersz; wyróżniony wiersz to Twoje k.
Jak korzystać z tej strony?
- Ustaw pola w formularzu powyżej — wynik przeliczy się od razu, bez przeładowania strony.
- Pod wynikiem znajdziesz skalę interpretacji, jeśli kalkulator ją ma: mówi, w którym przedziale wylądowała Twoja wartość.
- Wzór, z którego liczymy, stoi niżej na tej stronie — możesz sprawdzić rachunek samodzielnie.
- Chcesz policzyć to samo dla innej gry lub wariantu — zmień go w polu wyboru, ceny i pule podstawią się same.
Czego ta strona nie robi: Populacja jest skończona, a elementy losowane bez zwracania. Rozkład dwumianowy wymaga niezależnych prób ze stałym prawdopodobieństwem; nie jest zawsze zamiennikiem tego modelu.
Gdzie doczytać
Wzór
P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n) · E(X) = n × K/N · Var(X) = n × K/N × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1) Rozkład hipergeometryczny opisuje losowanie bez zwracania: każdy wyjęty element zmienia to, co zostało. Dokładnie tak zachowują się kule w maszynie losującej, karty rozdawane z talii czy próbka produktów pobrana do kontroli.
Wzór liczy korzystne próby. Wybierz k sukcesów spośród K i n − k porażek spośród N − K, pomnóż obie liczby i podziel przez liczbę wszystkich sposobów wyboru n elementów z N. Dla dokładnie trzech trafień w Lotto daje to 20 × 12 341 ÷ 13 983 816, czyli ok. 1,77%.
Nie każde k jest możliwe. Jeśli sukcesów jest tylko K, nie wylosujesz ich więcej niż K; jeśli porażek jest tylko N − K, duża próba musi zawierać co najmniej n − (N − K) sukcesów. Kalkulator pokazuje zakres możliwych wartości X i zwraca 0 dla wartości spoza niego.
Wartość oczekiwana n × K/N to średnia liczba sukcesów w bardzo wielu powtórzeniach, a nie prognoza pojedynczego losowania. Czynnik (N − n)/(N − 1) sprawia, że wariancja jest mniejsza niż w rozkładzie dwumianowym, bo losowanie bez zwracania zostawia mniej miejsca na przypadek; dla N = 1 albo n = N wariancja wynosi 0.
Przykłady to klasyka lekcji rachunku prawdopodobieństwa — kule w urnie, talia kart, wadliwe sztuki w partii — oraz dwa przypadki z loterii. Przykład tylko wpisuje liczby: wzór się nie zmienia.
Czytaj więcej
Najczęstsze pytania
Czym rozkład hipergeometryczny różni się od dwumianowego?
Rozkład dwumianowy zakłada losowanie ze zwracaniem, więc szansa sukcesu jest za każdym razem taka sama. Rozkład hipergeometryczny dotyczy losowania bez zwracania, w którym każde losowanie zmienia to, co zostało. Przy dużej populacji i małej próbie oba dają zbliżone wyniki.
Dlaczego P(X ≥ k) nie równa się 1 − P(X ≤ k)?
Bo oba obejmują wiersz X = k. Poprawna zależność to P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) — możesz to sprawdzić w tabeli.
Zobacz także
Cale na cm — przelicznik długości
Przelicz cale, centymetry, stopy, metry i milimetry. Wklej jedną wartość lub listę rozdzieloną średnikami.
Funty na kg — przelicznik masy
Przelicz funty, kilogramy, gramy i uncje. Wybierz rodzaj uncji i porównaj wyniki wielu wartości.
Generator wykresu kropkowego
Wklej liczby i utwórz wykres kropkowy. Zobacz powtórzenia na osi liczbowej, tabelę częstości i pobierz SVG lub