Rozkład hipergeometryczny — losowanie bez zwracania
Populacja N elementów zawiera K „sukcesów”. Losujesz n elementów bez zwracania. Jak prawdopodobne jest, że dokładnie k z nich to sukcesy? Wybierz przykład albo wpisz własne liczby.
Pełny rozkład zmiennej X
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| Ustaw pola powyżej — wynik policzy się na tej stronie. | |||
Kolumna P(X = k) sumuje się do 100%. P(X ≤ k) rośnie, a P(X ≥ k) maleje z wiersza na wiersz; wyróżniony wiersz to Twoje k.
Co wynika z tych liczb?
- Wynik dla ustawień powyżej: 1,77%. Przelicza się od razu po zmianie dowolnego pola.
- Liczymy ze wzoru podanego niżej — nie z modelu przewidywań i nie z historii losowań.
Liczby biorą się ze wzoru i z wartości, które wpisałeś powyżej. Nie są prognozą wyniku — żaden kalkulator nie zmienia prawdopodobieństwa pojedynczego losowania.
Jak korzystać z tej strony?
- Ustaw pola w formularzu powyżej — wynik przeliczy się od razu, bez przeładowania strony.
- Pod wynikiem znajdziesz skalę interpretacji, jeśli kalkulator ją ma: mówi, w którym przedziale wylądowała Twoja wartość.
- Wzór, z którego liczymy, stoi niżej na tej stronie — możesz sprawdzić rachunek samodzielnie.
- Chcesz policzyć to samo dla innej gry lub wariantu — zmień go w polu wyboru, ceny i pule podstawią się same.
Czego ta strona nie robi: Nie wskazuje liczb do zagrania i nie przewiduje wyniku losowania — każde losowanie jest niezależne od poprzednich.
Gdzie doczytać
Wzór
P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n) · E(X) = n × K/N · Var(X) = n × K/N × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1) Rozkład hipergeometryczny opisuje losowanie bez zwracania: każdy wyjęty element zmienia to, co zostało. Dokładnie tak zachowują się kule w maszynie losującej, karty rozdawane z talii czy próbka produktów pobrana do kontroli.
Wzór liczy korzystne próby. Wybierz k sukcesów spośród K i n − k porażek spośród N − K, pomnóż obie liczby i podziel przez liczbę wszystkich sposobów wyboru n elementów z N. Dla dokładnie trzech trafień w Lotto daje to 20 × 12 341 ÷ 13 983 816, czyli ok. 1,77%.
Nie każde k jest możliwe. Jeśli sukcesów jest tylko K, nie wylosujesz ich więcej niż K; jeśli porażek jest tylko N − K, duża próba musi zawierać co najmniej n − (N − K) sukcesów. Kalkulator pokazuje zakres możliwych wartości X i zwraca 0 dla wartości spoza niego.
Wartość oczekiwana n × K/N to średnia liczba sukcesów w bardzo wielu powtórzeniach, a nie prognoza pojedynczego losowania. Czynnik (N − n)/(N − 1) sprawia, że wariancja jest mniejsza niż w rozkładzie dwumianowym, bo losowanie bez zwracania zostawia mniej miejsca na przypadek; dla N = 1 albo n = N wariancja wynosi 0.
Przykłady to klasyka lekcji rachunku prawdopodobieństwa — kule w urnie, talia kart, wadliwe sztuki w partii — oraz dwa przypadki z loterii. Przykład tylko wpisuje liczby: wzór się nie zmienia.
Czytaj więcej
Najczęstsze pytania
Czym rozkład hipergeometryczny różni się od dwumianowego?
Rozkład dwumianowy zakłada losowanie ze zwracaniem, więc szansa sukcesu jest za każdym razem taka sama. Rozkład hipergeometryczny dotyczy losowania bez zwracania, w którym każde losowanie zmienia to, co zostało. Przy dużej populacji i małej próbie oba dają zbliżone wyniki.
Dlaczego P(X ≥ k) nie równa się 1 − P(X ≤ k)?
Bo oba obejmują wiersz X = k. Poprawna zależność to P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) — możesz to sprawdzić w tabeli.
Zobacz także
Kalkulator pierwiastków dowolnego stopnia
Oblicz pierwiastek kwadratowy, sześcienny albo dowolnego stopnia z podanej liczby. Kalkulator obsługuje liczby
Kalkulator procentowy
Kalkulator procentowy online: procent z liczby, udział i zmiana procentowa oraz zwiększenie lub zmniejszenie w
Kombinacje, wariacje i permutacje
Policz liczbę kombinacji, wariacji i permutacji z n elementów po k. Kalkulator kombinatoryczny z wzorami i prz