Laboratorium prawdopodobieństwa
Zmień szansę sukcesu i liczbę prób, porównaj model z symulacją. Dziesięć lekcji prowadzi od prostych zdarzeń do wartości oczekiwanej i niezależności.
Symulator niezależnych prób
Każde kliknięcie rozpoczyna nową serię. Symulacja pseudolosowa ilustruje model, nie przewiduje wyników loterii.
Jak korzystać z tej strony?
- Przeczytaj lekcję i rozwiązany przykład.
- Wpisz odpowiedź, sprawdź ją i porównaj kroki rozwiązania.
- Wygeneruj kolejne ćwiczenie albo rozwiąż test 10 pytań.
Czego ta strona nie robi: przewiduje przyszłych wyników losowań.
Kurs: 10 lekcji
- Zdarzenia i szanse
- Zdarzenie przeciwne
- Niezależne próby
- Co najmniej jeden sukces
- Kombinacje bez kolejności
- Bez zwracania
- Oczekiwana liczba sukcesów
- Wartość oczekiwana netto
- Wariancja liczby sukcesów
- Serie i złudzenie wyrównania
Wyniki o nieskończonym rozwinięciu zaokrąglaj do trzech miejsc po przecinku albo wpisz ułamek, np. 1/3.
Opcjonalny zapis tylko w tej przeglądarce. Bez konta i wysyłania odpowiedzi na serwer. Wyłączenie usuwa zapisany postęp.
1. Zdarzenia i szanse
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A) to liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników. Wynik należy do przedziału od 0 do 1.
Rozwiązany przykład
3 czerwone kule z 10: P = 3/10 = 0,3 = 30%.
Na co uważać
Nie dziel przez liczbę kul innego koloru. Upewnij się, że każda kula ma taką samą szansę wyboru.
2. Zdarzenie przeciwne
Zdarzenie A i jego dopełnienie obejmują wszystkie możliwości i nie zachodzą jednocześnie. Dlatego P(nie A) = 1 − P(A).
Rozwiązany przykład
Szansa deszczu 0,2 oznacza szansę braku deszczu 0,8 w tym samym modelu.
Na co uważać
Dopełnienie nie oznacza innego dowolnie wybranego zdarzenia; musi obejmować wszystko poza A.
3. Niezależne próby
Dla niezależnych zdarzeń prawdopodobieństwa mnożymy. Uczciwa moneta ma P(orzeł) = 1/2 przy każdym niezależnym rzucie.
Rozwiązany przykład
Trzy orły: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8.
Na co uważać
Nie mnożymy bez sprawdzenia niezależności. Przy losowaniu bez zwracania skład puli się zmienia.
4. Co najmniej jeden sukces
Najłatwiej policzyć brak sukcesu, a potem odjąć go od 1. Dla n niezależnych prób o stałym p: 1 − (1 − p)^n.
Rozwiązany przykład
Dwa rzuty monetą: 1 − (1/2)² = 3/4.
Na co uważać
Co najmniej jeden to nie dokładnie jeden. Dwa sukcesy też spełniają warunek.
5. Kombinacje bez kolejności
Para A,B jest tym samym wyborem co B,A. Liczbę par z n różnych elementów liczymy jako n(n−1)/2.
Rozwiązany przykład
Z 5 elementów wybierzesz 5 × 4 / 2 = 10 par.
Na co uważać
Nie dziel przez 2, jeśli kolejność ma znaczenie, np. gdy wybierasz przewodniczącego i zastępcę.
6. Bez zwracania
Po pierwszej czerwonej kuli pozostaje o jedną mniej czerwonych i o jedną mniej wszystkich kul. Mnożymy prawdopodobieństwo pierwszego kroku przez warunkowe prawdopodobieństwo drugiego.
Rozwiązany przykład
4 czerwone z 10: szansa dwóch czerwonych to 4/10 × 3/9 = 2/15.
Na co uważać
Nie używaj ponownie 4/10 w drugim kroku. To byłby model ze zwracaniem.
7. Oczekiwana liczba sukcesów
W n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p oczekiwana liczba sukcesów wynosi np. Może być niecałkowita.
Rozwiązany przykład
5 uczciwych rzutów ma średnio 2,5 orła w wielokrotnie powtarzanych seriach.
Na co uważać
Wartość oczekiwana nie jest obietnicą wyniku jednej serii.
8. Wartość oczekiwana netto
Pomnóż każdą wypłatę przez jej prawdopodobieństwo, dodaj wyniki i odejmij koszt. Kwoty i koszt muszą mieć tę samą jednostkę.
Rozwiązany przykład
Wypłata 4 z szansą 1/4, koszt 2: 4 × 1/4 − 2 = −1.
Na co uważać
Nie myl wypłaty z zyskiem. Zwrot ceny losu daje zysk zerowy.
9. Wariancja liczby sukcesów
Dla niezależnych prób Bernoulliego wariancja liczby sukcesów to np(1−p). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem wariancji.
Rozwiązany przykład
8 uczciwych rzutów: wariancja 8 × 1/2 × 1/2 = 2.
Na co uważać
Wariancja opisuje rozrzut, nie błąd urządzenia losującego.
10. Serie i złudzenie wyrównania
Poprzednie niezależne wyniki nie zmieniają prawdopodobieństwa następnej próby. Długa seria może wyglądać niezwykle, ale nie tworzy długu do wyrównania.
Rozwiązany przykład
Po pięciu orłach kolejny uczciwy niezależny rzut nadal ma P(orzeł) = 1/2.
Na co uważać
Nie używaj historii jako gwarancji następnego wyniku. Symulacja pokazuje zmienność, nie prognozę.
Test końcowy: 10 pytań
Po jednym nowym zadaniu z każdej lekcji. Bez limitu czasu. Odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po zakończeniu. Możesz przerwać i rozpocząć ponownie.
Źródła i dalsza nauka
Ćwiczenia autorskie Pewniaków. Techniki rachunku pamięciowego wyjaśniamy algebraicznie, bez twierdzeń o historycznym pochodzeniu ani gwarantowanej przewadze szybkości.