Laboratorium prawdopodobieństwa
Skorzystaj z narzędzia i ćwicz na 120 lekcjach w czterech poziomach trudności. Wybierz temat, sprawdź odpowiedź i rozwiąż test poziomu. Odpowiedzi pozostają na tym urządzeniu.
Symulator rzutu monetą i niezależnych prób
Dla uczciwej monety zostaw p = 0,5 i wybierz liczbę rzutów. Każde kliknięcie rozpoczyna nową serię. Symulacja pseudolosowa ilustruje model, nie przewiduje wyników loterii.
Jak korzystać z tej strony?
- Przeczytaj lekcję i rozwiązany przykład.
- Wpisz odpowiedź, sprawdź ją i porównaj kroki rozwiązania.
- Wygeneruj kolejne ćwiczenie albo rozwiąż test 10 pytań.
Czego ta strona nie robi: przewiduje przyszłych wyników losowań.
Kurs: 120 lekcji
- 1. Zdarzenia i szanse
- 2. Zdarzenie przeciwne
- 3. Niezależne próby
- 4. Co najmniej jeden sukces
- 5. Kombinacje bez kolejności
- 6. Oczekiwana liczba sukcesów
- 7. Serie i złudzenie wyrównania
- 8. Zdarzenia rozłączne
- 9. Suma zdarzeń
- 10. Prawdopodobieństwo warunkowe
- 11. Drzewo dwóch etapów
- 12. Prawo całkowitego prawdopodobieństwa
- 13. Bayes z liczników
- 14. Uporządkowane pary
- 15. Kombinacje trzech
- 16. Liczba ścian
- 17. Wynik parzysty
- 18. Zdarzenie niemożliwe
- 19. Zdarzenie pewne
- 20. Rozłączne wyniki
- 21. Częstość empiryczna
- 22. Procent na prawdopodobieństwo
- 23. Oczekiwany licznik
- 24. Próby nieudane
- 25. Błąd częstości
- 26. Dopełnienie ułamka
- 27. Podwójne dopełnienie
- 28. Licznik sumy
- 29. Tylko A
- 30. Poza sumą
- 31. Bez zwracania
- 32. Wartość oczekiwana netto
- 33. Wariancja liczby sukcesów
- 34. Dokładnie jeden sukces
- 35. Dokładnie dwa sukcesy
- 36. Co najwyżej jeden
- 37. Dwie czerwone ze zwracaniem
- 38. Jedna czerwona bez zwracania
- 39. Wartość oczekiwana sumy
- 40. Przeliczanie wypłat
- 41. Ścieżka dwóch sukcesów
- 42. Ścieżka sukces–porażka
- 43. Prawdopodobieństwo całkowite
- 44. Trzy niezależne etapy
- 45. Warunek z iloczynu
- 46. Suma dwa
- 47. Suma siedem
- 48. Dublet
- 49. Co najmniej jedna szóstka
- 50. Dwie różne wartości
- 51. Kod z powtórzeniami
- 52. Kod bez powtórzeń
- 53. Wybór pary
- 54. Kolejność trzech
- 55. Dwa etapy wyboru
- 56. Pierwsza czerwona
- 57. Druga po czerwonej
- 58. Czerwona potem biała
- 59. Dwie białe
- 60. Oczekiwana liczba czerwonych
- 61. Wariancja sumy niezależnych
- 62. Skala zmiennej i wariancja
- 63. Pierwszy sukces
- 64. Średni czas oczekiwania
- 65. Błąd częstości symulacji
- 66. Zero sukcesów
- 67. Wszystkie sukcesy
- 68. Jeden z dwóch
- 69. Średnia dwumianowa
- 70. Wariancja dwumianowa
- 71. Licznik trafnych alarmów
- 72. Fałszywe alarmy
- 73. Wada pod warunkiem alarmu
- 74. Wada pod warunkiem braku alarmu
- 75. Precyzja klasyfikatora
- 76. Sukces w drugiej próbie
- 77. Więcej niż dwie próby
- 78. Sukces do trzeciej próby
- 79. Porażki przed sukcesem
- 80. Brak pamięci
- 81. Wypłata brutto
- 82. Koszt a wynik netto
- 83. Suma oczekiwań
- 84. Cena neutralna
- 85. Wiele prób a oczekiwanie
- 86. Wariancja z kowariancją
- 87. Wariancja różnicy
- 88. Dodanie stałej
- 89. Skala ujemna
- 90. Średnia niezależnych
- 91. Łączna liczba prób
- 92. Ważenie serii
- 93. Odchylenie Monte Carlo
- 94. Zmniejszanie błędu
- 95. Różnica model–próba
- 96. Wskazana seria
- 97. Liczba okien
- 98. Oczekiwane okna
- 99. Seria dowolnej strony
- 100. Co najmniej sukces po serii
- 101. Liczba porównań
- 102. Para w modelu dni
- 103. Oczekiwane pary urodzin
- 104. Zasada szufladkowa
- 105. Trzy różne daty
- 106. Różne prawdopodobieństwa
- 107. Brak sukcesu przy różnych p
- 108. Perfekcyjna zależność
- 109. Brak obserwacji
- 110. Suma rozkładu
- 111. Budżet prób
- 112. Strata oczekiwana
- 113. Prawdopodobieństwo progu rentowności
- 114. Zwrot oczekiwany
- 115. Pewny koszt
- 116. Jeden na N
- 117. Spadek bezwzględny
- 118. Spadek względny
- 119. Niezależny następny wynik
- 120. Oczekiwanie nie jest gwarancją
Wpisz ułamek, np. 1/3, albo zaokrąglij zgodnie z instrukcją przy pytaniu (trzy lub osiem miejsc po przecinku).
Opcjonalny zapis tylko w tej przeglądarce. Bez konta i wysyłania odpowiedzi na serwer. Wyłączenie usuwa zapisany postęp.
1. Zdarzenia i szanse
Poziom 1
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A) to liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników. Wynik należy do przedziału od 0 do 1.
Rozwiązany przykład
3 czerwone kule z 10: P = 3/10 = 0,3 = 30%.
Na co uważać
Nie dziel przez liczbę kul innego koloru. Upewnij się, że każda kula ma taką samą szansę wyboru.
2. Zdarzenie przeciwne
Poziom 1
Zdarzenie A i jego dopełnienie obejmują wszystkie możliwości i nie zachodzą jednocześnie. Dlatego P(nie A) = 1 − P(A).
Rozwiązany przykład
Szansa deszczu 0,2 oznacza szansę braku deszczu 0,8 w tym samym modelu.
Na co uważać
Dopełnienie nie oznacza innego dowolnie wybranego zdarzenia; musi obejmować wszystko poza A.
3. Niezależne próby
Poziom 1
Dla niezależnych zdarzeń prawdopodobieństwa mnożymy. Uczciwa moneta ma P(orzeł) = 1/2 przy każdym niezależnym rzucie.
Rozwiązany przykład
Trzy orły: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8.
Na co uważać
Nie mnożymy bez sprawdzenia niezależności. Przy losowaniu bez zwracania skład puli się zmienia.
4. Co najmniej jeden sukces
Poziom 1
Najłatwiej policzyć brak sukcesu, a potem odjąć go od 1. Dla n niezależnych prób o stałym p: 1 − (1 − p)^n.
Rozwiązany przykład
Dwa rzuty monetą: 1 − (1/2)² = 3/4.
Na co uważać
Co najmniej jeden to nie dokładnie jeden. Dwa sukcesy też spełniają warunek.
5. Kombinacje bez kolejności
Poziom 1
Para A,B jest tym samym wyborem co B,A. Liczbę par z n różnych elementów liczymy jako n(n−1)/2.
Rozwiązany przykład
Z 5 elementów wybierzesz 5 × 4 / 2 = 10 par.
Na co uważać
Nie dziel przez 2, jeśli kolejność ma znaczenie, np. gdy wybierasz przewodniczącego i zastępcę.
6. Oczekiwana liczba sukcesów
Poziom 1
W n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p oczekiwana liczba sukcesów wynosi np. Może być niecałkowita.
Rozwiązany przykład
5 uczciwych rzutów ma średnio 2,5 orła w wielokrotnie powtarzanych seriach.
Na co uważać
Wartość oczekiwana nie jest obietnicą wyniku jednej serii.
7. Serie i złudzenie wyrównania
Poziom 1
Poprzednie niezależne wyniki nie zmieniają prawdopodobieństwa następnej próby. Długa seria może wyglądać niezwykle, ale nie tworzy długu do wyrównania.
Rozwiązany przykład
Po pięciu orłach kolejny uczciwy niezależny rzut nadal ma P(orzeł) = 1/2.
Na co uważać
Nie używaj historii jako gwarancji następnego wyniku. Symulacja pokazuje zmienność, nie prognozę.
8. Zdarzenia rozłączne
Poziom 1
Dla zdarzeń bez wspólnych wyników dodaj prawdopodobieństwa.
Rozwiązany przykład
Na kostce: P(1 lub 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Na co uważać
Rozłączność nie oznacza niezależności.
9. Suma zdarzeń
Poziom 1
P(A lub B) = P(A) + P(B) − P(A i B). Wspólną część policz raz.
Rozwiązany przykład
0,4 + 0,3 − 0,1 = 0,6.
Na co uważać
Nie dodawaj bez odjęcia wspólnej części.
10. Prawdopodobieństwo warunkowe
Poziom 1
P(A∣B) to udział A w zbiorze B; mianownik obejmuje tylko B.
Rozwiązany przykład
W B jest 8 osób, 3 należą do A: P(A∣B)=3/8.
Na co uważać
P(A∣B) zwykle różni się od P(B∣A).
11. Drzewo dwóch etapów
Poziom 1
Prawdopodobieństwo ścieżki to iloczyn kolejnych prawdopodobieństw warunkowych.
Rozwiązany przykład
P(A)=0,5, P(B∣A)=0,4: wspólna ścieżka ma 0,2.
Na co uważać
Na drugim etapie użyj właściwej gałęzi.
12. Prawo całkowitego prawdopodobieństwa
Poziom 1
Pomnóż wynik każdej rozłącznej gałęzi przez jej wagę i zsumuj.
Rozwiązany przykład
Dwa jednakowo wybierane worki: szanse 0,2 i 0,6 dają 0,4.
Na co uważać
Zwykła średnia działa tylko przy równych wagach.
13. Bayes z liczników
Poziom 1
Po obserwacji wyniku porównuj zgodne przypadki: udział źródła wśród wszystkich takich wyników.
Rozwiązany przykład
Z 12 czerwonych kul 9 pochodzi z A: P(A∣czerwona)=9/12.
Na co uważać
Nie pomijaj częstości źródeł przed obserwacją.
14. Uporządkowane pary
Poziom 1
Jeśli kolejność ma znaczenie i nie powtarzasz elementów, par jest n(n−1).
Rozwiązany przykład
Z 5 elementów: 5 × 4 = 20.
Na co uważać
Nie dziel przez 2, gdy AB i BA są różne.
15. Kombinacje trzech
Poziom 1
Nieuporządkowane trójki: C(n,3)=n(n−1)(n−2)/6.
Rozwiązany przykład
C(5,3)=5 × 4 × 3 / 6=10.
Na co uważać
Dzielnik 6 usuwa wszystkie kolejności trójki.
16. Liczba ścian
Poziom 1 · Zdarzenia elementarne
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A)=liczba sprzyjających/liczba wszystkich.
Rozwiązany przykład
Uczciwa kostka o 10 ścianach. Szansa wskazanej ściany? 1/10 = 0.1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
17. Wynik parzysty
Poziom 1 · Zdarzenia elementarne
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A)=liczba sprzyjających/liczba wszystkich.
Rozwiązany przykład
Uczciwa kostka ma ściany od 1 do 10. Szansa parzystej? 5/10 = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
18. Zdarzenie niemożliwe
Poziom 1 · Zdarzenia elementarne
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A)=liczba sprzyjających/liczba wszystkich.
Rozwiązany przykład
Standardowa kostka 1–6. Szansa wyniku 7? 0/6 = 0
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
19. Zdarzenie pewne
Poziom 1 · Zdarzenia elementarne
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A)=liczba sprzyjających/liczba wszystkich.
Rozwiązany przykład
Standardowa kostka. Szansa wyniku od 1 do 6? 6/6 = 1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
20. Rozłączne wyniki
Poziom 1 · Zdarzenia elementarne
Dla jednakowo prawdopodobnych wyników P(A)=liczba sprzyjających/liczba wszystkich.
Rozwiązany przykład
Uczciwa kostka 1–6. Szansa wyniku 1 lub 3 lub 5? 3/6 = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
21. Częstość empiryczna
Poziom 1 · Proporcje i próby
Częstość jest wynikiem próby; prawdopodobieństwo należy do modelu. To nie są identyczne wielkości.
Rozwiązany przykład
4 sukcesów w 20 próbach. Częstość? 4/20 = 0.2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
22. Procent na prawdopodobieństwo
Poziom 1 · Proporcje i próby
Częstość jest wynikiem próby; prawdopodobieństwo należy do modelu. To nie są identyczne wielkości.
Rozwiązany przykład
40% jako liczba 0–1? 40/100 = 0.4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
23. Oczekiwany licznik
Poziom 1 · Proporcje i próby
Częstość jest wynikiem próby; prawdopodobieństwo należy do modelu. To nie są identyczne wielkości.
Rozwiązany przykład
p=0.4, n=100. Oczekiwane sukcesy? 100×0.4 = 40
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
24. Próby nieudane
Poziom 1 · Proporcje i próby
Częstość jest wynikiem próby; prawdopodobieństwo należy do modelu. To nie są identyczne wielkości.
Rozwiązany przykład
W 20 próbach 4 sukcesów. Ile porażek? 20−4 = 16
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
25. Błąd częstości
Poziom 1 · Proporcje i próby
Częstość jest wynikiem próby; prawdopodobieństwo należy do modelu. To nie są identyczne wielkości.
Rozwiązany przykład
Model p=0,5, częstość 0.4. Bezwzględna różnica? |0.4−.5| = 0.1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
26. Dopełnienie ułamka
Poziom 1 · Dopełnienie i zbiory
Dopełnienie ma prawdopodobieństwo 1−p. Przy sumie zdarzeń odejmij część wspólną.
Rozwiązany przykład
P(A)=4/10. P(Aᶜ)? 1−0.4 = 0.6
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
27. Podwójne dopełnienie
Poziom 1 · Dopełnienie i zbiory
Dopełnienie ma prawdopodobieństwo 1−p. Przy sumie zdarzeń odejmij część wspólną.
Rozwiązany przykład
P(A)=0.4. P((Aᶜ)ᶜ)? (Aᶜ)ᶜ=A = 0.4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
28. Licznik sumy
Poziom 1 · Dopełnienie i zbiory
Dopełnienie ma prawdopodobieństwo 1−p. Przy sumie zdarzeń odejmij część wspólną.
Rozwiązany przykład
A ma 9, B 8, wspólne 5. Ile w sumie? |A|+|B|−|A∩B| = 12
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
29. Tylko A
Poziom 1 · Dopełnienie i zbiory
Dopełnienie ma prawdopodobieństwo 1−p. Przy sumie zdarzeń odejmij część wspólną.
Rozwiązany przykład
A ma 7, wspólne z B 3. Ile tylko A? |A|−|A∩B| = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
30. Poza sumą
Poziom 1 · Dopełnienie i zbiory
Dopełnienie ma prawdopodobieństwo 1−p. Przy sumie zdarzeń odejmij część wspólną.
Rozwiązany przykład
100 wyników, 40 w A∪B. P(poza sumą)? 1−40/100 = 0.6
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
31. Bez zwracania
Poziom 2
Po pierwszej czerwonej kuli pozostaje o jedną mniej czerwonych i o jedną mniej wszystkich kul. Mnożymy prawdopodobieństwo pierwszego kroku przez warunkowe prawdopodobieństwo drugiego.
Rozwiązany przykład
4 czerwone z 10: szansa dwóch czerwonych to 4/10 × 3/9 = 2/15.
Na co uważać
Nie używaj ponownie 4/10 w drugim kroku. To byłby model ze zwracaniem.
32. Wartość oczekiwana netto
Poziom 2
Pomnóż każdą wypłatę przez jej prawdopodobieństwo, dodaj wyniki i odejmij koszt. Kwoty i koszt muszą mieć tę samą jednostkę.
Rozwiązany przykład
Wypłata 4 z szansą 1/4, koszt 2: 4 × 1/4 − 2 = −1.
Na co uważać
Nie myl wypłaty z zyskiem. Zwrot ceny losu daje zysk zerowy.
33. Wariancja liczby sukcesów
Poziom 2
Dla niezależnych prób Bernoulliego wariancja liczby sukcesów to np(1−p). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem wariancji.
Rozwiązany przykład
8 uczciwych rzutów: wariancja 8 × 1/2 × 1/2 = 2.
Na co uważać
Wariancja opisuje rozrzut, nie błąd urządzenia losującego.
34. Dokładnie jeden sukces
Poziom 2
Dla n niezależnych prób z p=1/2 dokładnie jeden sukces ma n możliwych pozycji.
Rozwiązany przykład
Dla 3 rzutów: 3 × (1/2)³ = 3/8.
Na co uważać
Co najmniej jeden i dokładnie jeden to różne zdarzenia.
35. Dokładnie dwa sukcesy
Poziom 2
Wybierz dwie pozycje sukcesu i uwzględnij prawdopodobieństwo każdej sekwencji.
Rozwiązany przykład
W 4 uczciwych rzutach: C(4,2)/2⁴ = 6/16.
Na co uważać
Współczynnik kombinacji liczy pozycje, nie prawdopodobieństwo.
36. Co najwyżej jeden
Poziom 2
Zsumuj rozłączne przypadki: zero oraz dokładnie jeden sukces.
Rozwiązany przykład
W 3 rzutach: (1+3)/8 = 1/2.
Na co uważać
Słowo najwyżej obejmuje zero.
37. Dwie czerwone ze zwracaniem
Poziom 2
Po zwrocie kuli skład worka jest taki sam; przy niezależnym losowaniu mnożysz te same szanse.
Rozwiązany przykład
3 czerwone z 10: (3/10)² = 0,09.
Na co uważać
Bez zwracania drugi mianownik i licznik się zmieniają.
38. Jedna czerwona bez zwracania
Poziom 2
Policz obie kolejności: czerwona–biała i biała–czerwona.
Rozwiązany przykład
3 czerwone z 10: 2 × 3/10 × 7/9 = 7/15.
Na co uważać
Pominięcie kolejności zaniża wynik o połowę.
39. Wartość oczekiwana sumy
Poziom 2
Wartości oczekiwane można dodawać nawet bez niezależności, gdy istnieją.
Rozwiązany przykład
E(X)=2 i E(Y)=5, więc E(X+Y)=7.
Na co uważać
Ta reguła nie przenosi się wprost na wariancję.
40. Przeliczanie wypłat
Poziom 2
Dla stałych c,d: E(cX+d)=cE(X)+d.
Rozwiązany przykład
E(X)=3, więc E(2X−1)=5.
Na co uważać
Koszt odejmij raz na każdą opłaconą próbę.
41. Ścieżka dwóch sukcesów
Poziom 2 · Drzewa zdarzeń
Mnożymy prawdopodobieństwa warunkowe wzdłuż ścieżki, dodajemy rozłączne ścieżki.
Rozwiązany przykład
P(A)=0.4, P(B|A)=0,5. P(A∩B)? 0.4×.5 = 0.2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
42. Ścieżka sukces–porażka
Poziom 2 · Drzewa zdarzeń
Mnożymy prawdopodobieństwa warunkowe wzdłuż ścieżki, dodajemy rozłączne ścieżki.
Rozwiązany przykład
P(A)=0.4, P(B|A)=0,5. P(A∩Bᶜ)? 0.4×(1−.5) = 0.2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
43. Prawdopodobieństwo całkowite
Poziom 2 · Drzewa zdarzeń
Mnożymy prawdopodobieństwa warunkowe wzdłuż ścieżki, dodajemy rozłączne ścieżki.
Rozwiązany przykład
Równe szanse worków. P(czerwonej|A)=0.4, P(czerwonej|B)=0,2. P(czerwonej)? .5×0.4+.5×.2 = 0.3
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
44. Trzy niezależne etapy
Poziom 2 · Drzewa zdarzeń
Mnożymy prawdopodobieństwa warunkowe wzdłuż ścieżki, dodajemy rozłączne ścieżki.
Rozwiązany przykład
Trzy niezależne etapy z szansą 0,5 każdy. Szansa wszystkich? .5³ = 0.125
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
45. Warunek z iloczynu
Poziom 2 · Drzewa zdarzeń
Mnożymy prawdopodobieństwa warunkowe wzdłuż ścieżki, dodajemy rozłączne ścieżki.
Rozwiązany przykład
P(A∩B)=0.2, P(A)=0.4. P(B|A)? P(A∩B)/P(A) = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
46. Suma dwa
Poziom 2 · Dwie kostki
Dwie niezależne uczciwe kostki dają 36 równoprawdopodobnych uporządkowanych par. Sumy nie są równoprawdopodobne.
Rozwiązany przykład
Szansa sumy 2? 1/36 = 0.02777777778
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
47. Suma siedem
Poziom 2 · Dwie kostki
Dwie niezależne uczciwe kostki dają 36 równoprawdopodobnych uporządkowanych par. Sumy nie są równoprawdopodobne.
Rozwiązany przykład
Szansa sumy 7? 6/36 = 0.1666666667
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
48. Dublet
Poziom 2 · Dwie kostki
Dwie niezależne uczciwe kostki dają 36 równoprawdopodobnych uporządkowanych par. Sumy nie są równoprawdopodobne.
Rozwiązany przykład
Szansa równych oczek? 6/36 = 0.1666666667
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
49. Co najmniej jedna szóstka
Poziom 2 · Dwie kostki
Dwie niezależne uczciwe kostki dają 36 równoprawdopodobnych uporządkowanych par. Sumy nie są równoprawdopodobne.
Rozwiązany przykład
Szansa co najmniej jednej szóstki? 1−(5/6)² = 0.3055555556
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
50. Dwie różne wartości
Poziom 2 · Dwie kostki
Dwie niezależne uczciwe kostki dają 36 równoprawdopodobnych uporządkowanych par. Sumy nie są równoprawdopodobne.
Rozwiązany przykład
Szansa różnych oczek? 1−6/36 = 0.8333333333
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
51. Kod z powtórzeniami
Poziom 2 · Liczenie konfiguracji
Rozróżniaj kolejność i powtórzenia. Mnożenie liczb wyborów wymaga poprawnie ustalonej liczby opcji na etapie.
Rozwiązany przykład
Kod z 3 cyfr 0–9, powtórzenia dozwolone. Ile kodów? 10³ = 1000
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
52. Kod bez powtórzeń
Poziom 2 · Liczenie konfiguracji
Rozróżniaj kolejność i powtórzenia. Mnożenie liczb wyborów wymaga poprawnie ustalonej liczby opcji na etapie.
Rozwiązany przykład
Kod z 3 różnych cyfr 0–9, zero na początku dozwolone. Ile? 10×9×8 = 720
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
53. Wybór pary
Poziom 2 · Liczenie konfiguracji
Rozróżniaj kolejność i powtórzenia. Mnożenie liczb wyborów wymaga poprawnie ustalonej liczby opcji na etapie.
Rozwiązany przykład
Nieuporządkowane pary z 5 osób. Ile? n(n−1)/2 = 10
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
54. Kolejność trzech
Poziom 2 · Liczenie konfiguracji
Rozróżniaj kolejność i powtórzenia. Mnożenie liczb wyborów wymaga poprawnie ustalonej liczby opcji na etapie.
Rozwiązany przykład
Ile ustawień 3 różnych osób? 3!=6 = 6
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
55. Dwa etapy wyboru
Poziom 2 · Liczenie konfiguracji
Rozróżniaj kolejność i powtórzenia. Mnożenie liczb wyborów wymaga poprawnie ustalonej liczby opcji na etapie.
Rozwiązany przykład
4 koszul i 3 spodni. Ile zestawów? 4×3 = 12
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
56. Pierwsza czerwona
Poziom 2 · Losowanie bez zwrotu
Po losowaniu bez zwrotu zmieniają się licznik i mianownik. Nie zakładaj niezależności.
Rozwiązany przykład
10 kul, 4 czerwonych. P(pierwsza czerwona)? 4/10 = 0.4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
57. Druga po czerwonej
Poziom 2 · Losowanie bez zwrotu
Po losowaniu bez zwrotu zmieniają się licznik i mianownik. Nie zakładaj niezależności.
Rozwiązany przykład
10 kul, 4 czerwonych. Pierwsza czerwona zabrana. P(druga czerwona)? 3/9 = 0.3333333333
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
58. Czerwona potem biała
Poziom 2 · Losowanie bez zwrotu
Po losowaniu bez zwrotu zmieniają się licznik i mianownik. Nie zakładaj niezależności.
Rozwiązany przykład
10 kul, 4 czerwonych. Bez zwrotu: P(czerwona potem biała)? 4/10×6/9 = 0.2666666667
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
59. Dwie białe
Poziom 2 · Losowanie bez zwrotu
Po losowaniu bez zwrotu zmieniają się licznik i mianownik. Nie zakładaj niezależności.
Rozwiązany przykład
10 kul, 4 czerwonych. Bez zwrotu: P(dwie białe)? 6/10×5/9 = 0.3333333333
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
60. Oczekiwana liczba czerwonych
Poziom 2 · Losowanie bez zwrotu
Po losowaniu bez zwrotu zmieniają się licznik i mianownik. Nie zakładaj niezależności.
Rozwiązany przykład
10 kul, 4 czerwonych. Losujesz 2 bez zwrotu. Oczekiwane czerwone? 2×4/10 = 0.8
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
61. Wariancja sumy niezależnych
Poziom 3
Wariancje niezależnych zmiennych sumują się. Odchylenia standardowe nie.
Rozwiązany przykład
Wariancje 2 i 3 dają wariancję sumy 5.
Na co uważać
Przy zależności potrzebna jest kowariancja.
62. Skala zmiennej i wariancja
Poziom 3
Var(cX)=c²Var(X). Stała dodana do X nie zmienia wariancji.
Rozwiązany przykład
Var(X)=2: Var(3X)=18.
Na co uważać
Mnożnik podnosisz do kwadratu.
63. Pierwszy sukces
Poziom 3
Pierwszy sukces w próbie k wymaga k−1 porażek i jednego sukcesu.
Rozwiązany przykład
Dla p=1/2 w próbie 3: (1/2)³=1/8.
Na co uważać
Nie mnożysz przez liczbę pozycji: sukces jest na końcu.
64. Średni czas oczekiwania
Poziom 3
W niezależnych próbach ze stałym p>0 średnia liczba prób do sukcesu wynosi 1/p.
Rozwiązany przykład
p=1/5 daje średnio 5 prób, bez terminu gwarantowanego.
Na co uważać
Średnia nie jest obietnicą trafienia w tej próbie.
65. Błąd częstości symulacji
Poziom 3
Porównaj częstość obserwowaną z p. W punktach procentowych pomnóż różnicę przez 100.
Rozwiązany przykład
60/100 wobec p=0,5: różnica bezwzględna 10 pp.
Na co uważać
Punkty procentowe nie są względną zmianą procentową.
66. Zero sukcesów
Poziom 3 · Model dwumianowy
Model wymaga niezależnych prób ze stałym p. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k).
Rozwiązany przykład
n=5, p=0,5. P(X=0)? (.5)^5 = 0.03125
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
67. Wszystkie sukcesy
Poziom 3 · Model dwumianowy
Model wymaga niezależnych prób ze stałym p. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k).
Rozwiązany przykład
n=3, p=0.4. P(X=3)? 0.4³ = 0.064
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
68. Jeden z dwóch
Poziom 3 · Model dwumianowy
Model wymaga niezależnych prób ze stałym p. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k).
Rozwiązany przykład
n=2, p=0.4. P(X=1)? 2p(1−p) = 0.48
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
69. Średnia dwumianowa
Poziom 3 · Model dwumianowy
Model wymaga niezależnych prób ze stałym p. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k).
Rozwiązany przykład
n=5, p=0.4. E(X)? 5×0.4 = 2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
70. Wariancja dwumianowa
Poziom 3 · Model dwumianowy
Model wymaga niezależnych prób ze stałym p. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k).
Rozwiązany przykład
n=5, p=0.4. Var(X)? np(1−p) = 1.2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
71. Licznik trafnych alarmów
Poziom 3 · Bayes i częstości naturalne
Przelicz grupy na liczniki. P(A|B) nie jest zwykle równe P(B|A).
Rozwiązany przykład
1000 paczek, 10% wadliwych. Czujnik wykrywa 80% wadliwych. Ile trafnych alarmów? 1000×.1×.8 = 80
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
72. Fałszywe alarmy
Poziom 3 · Bayes i częstości naturalne
Przelicz grupy na liczniki. P(A|B) nie jest zwykle równe P(B|A).
Rozwiązany przykład
900 dobrych paczek, alarm w 10%. Ile fałszywych alarmów? 900×.1 = 90
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
73. Wada pod warunkiem alarmu
Poziom 3 · Bayes i częstości naturalne
Przelicz grupy na liczniki. P(A|B) nie jest zwykle równe P(B|A).
Rozwiązany przykład
80 trafnych i 90 fałszywych alarmów. P(wada|alarm)? 80/(80+90) = 0.4705882353
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
74. Wada pod warunkiem braku alarmu
Poziom 3 · Bayes i częstości naturalne
Przelicz grupy na liczniki. P(A|B) nie jest zwykle równe P(B|A).
Rozwiązany przykład
Bez alarmu: 20 wadliwych, 810 dobrych. P(wada|brak alarmu)? 20/(20+810) = 0.02409638554
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
75. Precyzja klasyfikatora
Poziom 3 · Bayes i częstości naturalne
Przelicz grupy na liczniki. P(A|B) nie jest zwykle równe P(B|A).
Rozwiązany przykład
4 trafnych alarmów i 3 fałszywych. Precyzja? trafne/(trafne+fałszywe) = 0.5714285714
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
76. Sukces w drugiej próbie
Poziom 3 · Czas do sukcesu
Dla niezależnych prób ze stałym p czas do pierwszego sukcesu liczy próbę udaną: E(T)=1/p.
Rozwiązany przykład
p=0.4. P(T=2)? (1−p)p = 0.24
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
77. Więcej niż dwie próby
Poziom 3 · Czas do sukcesu
Dla niezależnych prób ze stałym p czas do pierwszego sukcesu liczy próbę udaną: E(T)=1/p.
Rozwiązany przykład
p=0.4. P(T>2)? (1−p)² = 0.36
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
78. Sukces do trzeciej próby
Poziom 3 · Czas do sukcesu
Dla niezależnych prób ze stałym p czas do pierwszego sukcesu liczy próbę udaną: E(T)=1/p.
Rozwiązany przykład
p=0.4. P(T≤3)? 1−(1−p)³ = 0.784
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
79. Porażki przed sukcesem
Poziom 3 · Czas do sukcesu
Dla niezależnych prób ze stałym p czas do pierwszego sukcesu liczy próbę udaną: E(T)=1/p.
Rozwiązany przykład
p=1/5. Oczekiwana liczba porażek przed sukcesem? (1−p)/p = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
80. Brak pamięci
Poziom 3 · Czas do sukcesu
Dla niezależnych prób ze stałym p czas do pierwszego sukcesu liczy próbę udaną: E(T)=1/p.
Rozwiązany przykład
Stałe p=0.4, już 5 porażek. Szansa sukcesu w następnej niezależnej próbie? P(następny sukces)=p = 0.4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
81. Wypłata brutto
Poziom 3 · Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana to suma wartości razy prawdopodobieństwa. Nie jest obietnicą wyniku pojedynczej próby.
Rozwiązany przykład
Wypłata 30 z szansą 0.4, inaczej 0. E(wypłaty)? 30×0.4 = 12
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
82. Koszt a wynik netto
Poziom 3 · Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana to suma wartości razy prawdopodobieństwa. Nie jest obietnicą wyniku pojedynczej próby.
Rozwiązany przykład
E(wypłaty)=4, koszt=3. E(netto)? E(wypłata)−koszt = 1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
83. Suma oczekiwań
Poziom 3 · Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana to suma wartości razy prawdopodobieństwa. Nie jest obietnicą wyniku pojedynczej próby.
Rozwiązany przykład
E(X)=4, E(Y)=3. E(2X+Y)? 2E(X)+E(Y) = 11
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
84. Cena neutralna
Poziom 3 · Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana to suma wartości razy prawdopodobieństwa. Nie jest obietnicą wyniku pojedynczej próby.
Rozwiązany przykład
Wypłata 20 z szansą 0,25, inaczej 0. Cena dająca E(netto)=0? 20×.25 = 5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
85. Wiele prób a oczekiwanie
Poziom 3 · Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana to suma wartości razy prawdopodobieństwa. Nie jest obietnicą wyniku pojedynczej próby.
Rozwiązany przykład
E(netto) jednej próby = −0,2. E(netto) 100 prób? 100×(−.2) = -20
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
86. Wariancja z kowariancją
Poziom 3 · Zależność i wariancja
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y). Niezależność wystarcza do zerowej kowariancji, odwrotność nie zawsze.
Rozwiązany przykład
Var(X)=4, Var(Y)=9, cov=2. Var(X+Y)? 4+9+2×2 = 17
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
87. Wariancja różnicy
Poziom 3 · Zależność i wariancja
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y). Niezależność wystarcza do zerowej kowariancji, odwrotność nie zawsze.
Rozwiązany przykład
Var(X)=4, Var(Y)=9, cov=2. Var(X−Y)? 4+9−2×2 = 9
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
88. Dodanie stałej
Poziom 3 · Zależność i wariancja
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y). Niezależność wystarcza do zerowej kowariancji, odwrotność nie zawsze.
Rozwiązany przykład
Var(X)=4. Var(X+3)? Var(X+c)=Var(X) = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
89. Skala ujemna
Poziom 3 · Zależność i wariancja
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y). Niezależność wystarcza do zerowej kowariancji, odwrotność nie zawsze.
Rozwiązany przykład
Var(X)=4. Var(−2X)? (−2)²Var(X) = 16
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
90. Średnia niezależnych
Poziom 3 · Zależność i wariancja
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y). Niezależność wystarcza do zerowej kowariancji, odwrotność nie zawsze.
Rozwiązany przykład
Niezależne X,Y mają wariancję 8 każde. Var((X+Y)/2)? (2a+2a)/4 = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
91. Łączna liczba prób
Poziom 4 · Projekt: symulacja
Porównuj model z wieloma seriami. Jeden przebieg nie waliduje generatora ani prognozy.
Rozwiązany przykład
4 serii po 30 prób. Łącznie? 4×30 = 120
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
92. Ważenie serii
Poziom 4 · Projekt: symulacja
Porównuj model z wieloma seriami. Jeden przebieg nie waliduje generatora ani prognozy.
Rozwiązany przykład
Seria A: 1/2 sukcesów, B: 8/10. Częstość łączna? (1+8)/(2+10) = 0.75
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
93. Odchylenie Monte Carlo
Poziom 4 · Projekt: symulacja
Porównuj model z wieloma seriami. Jeden przebieg nie waliduje generatora ani prognozy.
Rozwiązany przykład
p=0,5, n=100. SD częstości w niezależnej symulacji? √(.5×.5/100) = 0.05
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
94. Zmniejszanie błędu
Poziom 4 · Projekt: symulacja
Porównuj model z wieloma seriami. Jeden przebieg nie waliduje generatora ani prognozy.
Rozwiązany przykład
Aby zmniejszyć SE 2 razy, ile razy zwiększyć liczbę niezależnych prób? SE ∝ 1/√n = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
95. Różnica model–próba
Poziom 4 · Projekt: symulacja
Porównuj model z wieloma seriami. Jeden przebieg nie waliduje generatora ani prognozy.
Rozwiązany przykład
Model oczekuje 50, uzyskano 54. Odchylenie licznika? zaobserwowane−oczekiwane = 4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
96. Wskazana seria
Poziom 4 · Projekt: serie
Szansa wskazanej serii różni się od szansy wystąpienia serii gdziekolwiek. Nakładające się okna są zależne.
Rozwiązany przykład
5 wskazanych uczciwych rzutów ma dać same orły. Szansa? 2^(−n) = 0.03125
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
97. Liczba okien
Poziom 4 · Projekt: serie
Szansa wskazanej serii różni się od szansy wystąpienia serii gdziekolwiek. Nakładające się okna są zależne.
Rozwiązany przykład
10 rzutów, okna długości 3. Ile możliwych początków? 10−3+1 = 8
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
98. Oczekiwane okna
Poziom 4 · Projekt: serie
Szansa wskazanej serii różni się od szansy wystąpienia serii gdziekolwiek. Nakładające się okna są zależne.
Rozwiązany przykład
10 uczciwych rzutów. Oczekiwana liczba okien OOO? 8×1/8 = 1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
99. Seria dowolnej strony
Poziom 4 · Projekt: serie
Szansa wskazanej serii różni się od szansy wystąpienia serii gdziekolwiek. Nakładające się okna są zależne.
Rozwiązany przykład
Pierwsze 3 uczciwe rzuty jednakowe (OOO lub RRR). Szansa? 2/8 = 0.25
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
100. Co najmniej sukces po serii
Poziom 4 · Projekt: serie
Szansa wskazanej serii różni się od szansy wystąpienia serii gdziekolwiek. Nakładające się okna są zależne.
Rozwiązany przykład
Po 10 porażkach, następne 2 niezależne próby p=0,5. Szansa co najmniej sukcesu? 1−.5² = 0.75
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
101. Liczba porównań
Poziom 4 · Projekt: kolizje
Porównujemy dowolne pary; liczba par n(n−1)/2. Oczekiwana liczba par nie jest prawdopodobieństwem kolizji.
Rozwiązany przykład
5 osób. Ile par? n(n−1)/2 = 10
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
102. Para w modelu dni
Poziom 4 · Projekt: kolizje
Porównujemy dowolne pary; liczba par n(n−1)/2. Oczekiwana liczba par nie jest prawdopodobieństwem kolizji.
Rozwiązany przykład
Dwie osoby, 365 niezależnych równoprawdopodobnych dni. Szansa wspólnej daty? 1/365 = 0.002739726027
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
103. Oczekiwane pary urodzin
Poziom 4 · Projekt: kolizje
Porównujemy dowolne pary; liczba par n(n−1)/2. Oczekiwana liczba par nie jest prawdopodobieństwem kolizji.
Rozwiązany przykład
10 osób, 365 dni. Oczekiwana liczba pasujących par? C(10,2)/365 = 0.1232876712
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
104. Zasada szufladkowa
Poziom 4 · Projekt: kolizje
Porównujemy dowolne pary; liczba par n(n−1)/2. Oczekiwana liczba par nie jest prawdopodobieństwem kolizji.
Rozwiązany przykład
366 osób i tylko 365 możliwych dni. Szansa co najmniej kolizji? n>d → pewne = 1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
105. Trzy różne daty
Poziom 4 · Projekt: kolizje
Porównujemy dowolne pary; liczba par n(n−1)/2. Oczekiwana liczba par nie jest prawdopodobieństwem kolizji.
Rozwiązany przykład
3 osoby, 10 równoprawdopodobnych dni, niezależnie. Szansa wszystkich dat różnych? 1×9/10×8/10 = 0.72
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
106. Różne prawdopodobieństwa
Poziom 4 · Projekt: kontrola modelu
Sprawdzaj założenia niezależności, stałego p i kompletności danych przed użyciem wzoru.
Rozwiązany przykład
Dwie niezależne próby p1=0,2 i p2=0,8. E(sukcesów)? .2+.8 = 1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
107. Brak sukcesu przy różnych p
Poziom 4 · Projekt: kontrola modelu
Sprawdzaj założenia niezależności, stałego p i kompletności danych przed użyciem wzoru.
Rozwiązany przykład
Niezależne p1=0,2, p2=0,8. P(zero sukcesów)? .8×.2 = 0.16
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
108. Perfekcyjna zależność
Poziom 4 · Projekt: kontrola modelu
Sprawdzaj założenia niezależności, stałego p i kompletności danych przed użyciem wzoru.
Rozwiązany przykład
Drugi wynik zawsze kopiuje pierwszy uczciwy rzut. P(dwa orły)? dwa orły wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy to orzeł = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
109. Brak obserwacji
Poziom 4 · Projekt: kontrola modelu
Sprawdzaj założenia niezależności, stałego p i kompletności danych przed użyciem wzoru.
Rozwiązany przykład
100 prób, znane wyniki tylko 80. Jaki procent wyników nieznany? 20/100×100 = 20
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
110. Suma rozkładu
Poziom 4 · Projekt: kontrola modelu
Sprawdzaj założenia niezależności, stałego p i kompletności danych przed użyciem wzoru.
Rozwiązany przykład
Rozkład ma prawdopodobieństwa 0,2; 0,3; x. Jakie x? 1−.2−.3 = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
111. Budżet prób
Poziom 4 · Projekt: decyzja i koszt
Oddziel wypłatę od zysku i ryzyko od oczekiwania. Obliczenia nie są rekomendacją gry.
Rozwiązany przykład
Budżet 40, koszt próby 4. Ile prób? budżet/koszt = 10
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
112. Strata oczekiwana
Poziom 4 · Projekt: decyzja i koszt
Oddziel wypłatę od zysku i ryzyko od oczekiwania. Obliczenia nie są rekomendacją gry.
Rozwiązany przykład
Koszt 2, E(wypłaty)=1,5. Oczekiwana strata w 20 próbach? 20×(2−1.5) = 10
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
113. Prawdopodobieństwo progu rentowności
Poziom 4 · Projekt: decyzja i koszt
Oddziel wypłatę od zysku i ryzyko od oczekiwania. Obliczenia nie są rekomendacją gry.
Rozwiązany przykład
Koszt 1, wypłata 5 albo 0. Jakie p daje E(netto)=0? 5p−1=0 = 0.2
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
114. Zwrot oczekiwany
Poziom 4 · Projekt: decyzja i koszt
Oddziel wypłatę od zysku i ryzyko od oczekiwania. Obliczenia nie są rekomendacją gry.
Rozwiązany przykład
Koszt 10, E(wypłaty)=4. Stosunek wypłaty oczekiwanej do kosztu? 4/10 = 0.4
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
115. Pewny koszt
Poziom 4 · Projekt: decyzja i koszt
Oddziel wypłatę od zysku i ryzyko od oczekiwania. Obliczenia nie są rekomendacją gry.
Rozwiązany przykład
5 prób po 3. Łączny koszt niezależnie od wyników? 5×3 = 15
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
116. Jeden na N
Poziom 4 · Projekt: komunikacja ryzyka
Podawaj mianownik, horyzont i założenia. Zmiana względna nie jest różnicą w punktach procentowych.
Rozwiązany przykład
P=1/5. Ile to procent? 100/5 = 20
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
117. Spadek bezwzględny
Poziom 4 · Projekt: komunikacja ryzyka
Podawaj mianownik, horyzont i założenia. Zmiana względna nie jest różnicą w punktach procentowych.
Rozwiązany przykład
P spada z 0,2 do 0,1. Spadek w pp? (.2−.1)×100 = 10
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
118. Spadek względny
Poziom 4 · Projekt: komunikacja ryzyka
Podawaj mianownik, horyzont i założenia. Zmiana względna nie jest różnicą w punktach procentowych.
Rozwiązany przykład
P spada z 0,2 do 0,1. Spadek względny w %? (.2−.1)/.2×100 = 50
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
119. Niezależny następny wynik
Poziom 4 · Projekt: komunikacja ryzyka
Podawaj mianownik, horyzont i założenia. Zmiana względna nie jest różnicą w punktach procentowych.
Rozwiązany przykład
100 poprzednich losowań. P wybranego zdarzenia w następnym niezależnym = 0,1. Czy historia zmienia p? Podaj p. niezależność zachowuje p = 0.1
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
120. Oczekiwanie nie jest gwarancją
Poziom 4 · Projekt: komunikacja ryzyka
Podawaj mianownik, horyzont i założenia. Zmiana względna nie jest różnicą w punktach procentowych.
Rozwiązany przykład
Dwie uczciwe monety: E(orłów)=1. Szansa dokładnie jednego orła? 2/4 = 0.5
Na co uważać
Zachowaj jednostkę z pytania. Wpisz ułamek albo zaokrąglij nieskończone rozwinięcie do ośmiu miejsc. Sprawdź założenia podane w tej lekcji.
Test: wybierz zakres
Wybierz zakres lekcji i długość testu. Tematy losujemy bez powtórzeń, maksymalnie tyle, ile jest w zakresie. Odpowiedzi zobaczysz po teście; nie ma limitu czasu.
Źródła i dalsza nauka
Ćwiczenia autorskie Pewniaków. Techniki rachunku pamięciowego wyjaśniamy algebraicznie, bez twierdzeń o historycznym pochodzeniu ani gwarantowanej przewadze szybkości.