Systemy skrócone z gwarancją — ile zakładów naprawdę trzeba?

Jeśli w Lotto typujesz 8 liczb i chcesz zagrać wszystkimi szóstkami, jakie da się z nich ułożyć, kupujesz system pełny: 28 zakładów. Przy 9 liczbach to już 84 zakłady, przy 10 — 210. System skrócony wybiera z tego tylko część zakładów, ale tak, by w określonej sytuacji na którymś kuponie była wygrana ustalonego stopnia. Pytanie, ile zakładów wystarczy, to zadanie z kombinatoryki — i ma dokładne odpowiedzi.

Jak czytać gwarancję

W tym wpisie liczymy gwarancje typu „piątka przy sześciu trafionych z ośmiu typowanych”. Znaczy to: jeśli wszystkie 6 wylosowanych liczb jest wśród Twoich 8, to co najmniej jeden zakład systemu ma co najmniej 5 trafień. Jeśli wśród Twoich liczb padnie mniej niż sześć, gwarancja niczego nie obiecuje. Ogólne zasady czytania takich zapisów opisujemy na stronie systemów skróconych.

Warunek zdarza się rzadko. Szansa, że wszystkie 6 wylosowanych liczb znajdzie się wśród 8 wybranych, to C(8, 6) ÷ C(49, 6) = 28 ÷ 13 983 816, czyli 1 do 499 422. Przy 9 liczbach — 1 do 166 474.

Ile zakładów trzeba co najmniej

Tabela podaje najmniejszą liczbę zakładów, która daje gwarancję trójki, czwórki albo piątki przy sześciu trafionych z n typowanych. Każdą podaną dokładnie wartość sprawdziliśmy komputerowo — solver wykazał, że mniejszy układ nie istnieje.

Liczby	System pełny	Trójka	Czwórka	Piątka
7	7	1	1	1
8	28	1	1	4
9	84	1	3	7
10	210	2	3	11–14
11	462	2	5	—
12	924	2	6	—

Najmniejsza liczba zakładów Lotto, która gwarantuje trójkę, czwórkę albo piątkę przy sześciu trafionych z n typowanych. „11–14” — dokładnej wartości nie ustaliliśmy; „—” — nie liczyliśmy.

Pierwsze wiersze mogą zaskoczyć: przy 7 albo 8 liczbach jeden dowolny zakład daje piątkę albo czwórkę. To nie trik, tylko prosty rachunek. Jeśli wszystkie 6 wylosowanych liczb jest wśród Twoich 8, to nie padły tylko 2 z nich — a zakład pomija 2 z Twoich liczb, więc traci najwyżej 2 trafienia.

Przykład: 8 liczb i 4 zakłady z gwarancją piątki

Ponumeruj swoje liczby od najmniejszej do największej: pozycje 1–8. Każdy z czterech zakładów pomija jedną parę pozycji:

1. pozycje 3, 4, 5, 6, 7, 8 (pomija 1 i 2);
2. pozycje 1, 2, 5, 6, 7, 8 (pomija 3 i 4);
3. pozycje 1, 2, 3, 4, 7, 8 (pomija 5 i 6);
4. pozycje 1, 2, 3, 4, 5, 6 (pomija 7 i 8).

Dlaczego to działa? Gdy wszystkie 6 wylosowanych liczb jest wśród Twoich 8, nie padły dokładnie 2 z nich. Weź zakład, który pomija parę zawierającą jedną z nich. Taki zakład ma co najwyżej jedną niewylosowaną liczbę, więc co najmniej 5 trafień.

Dlaczego nie wystarczą 3 zakłady? Trzy zakłady pomijają razem najwyżej 6 pozycji. Jeśli nie padną akurat dwie liczby z pozostałych pozycji, każdy zakład zawiera obie i ma tylko 4 trafienia. Ogólnie: pominięte liczby muszą obejmować co najmniej 7 z Twoich liczb — stąd 4 zakłady przy 8 liczbach (gwarancja piątki) i 3 zakłady przy 9 liczbach (gwarancja czwórki; pomijane trójki 1–3, 4–6, 7–9).

9 liczb i gwarancja piątki: 7 zakładów zamiast 84

Przy 9 liczbach piątka wymaga więcej pracy. Ten układ ma 7 zakładów (pozycje od najmniejszej liczby):

1. 4, 5, 6, 7, 8, 9;
2. 3, 5, 6, 7, 8, 9;
3. 2, 5, 6, 7, 8, 9;
4. 1, 2, 3, 4, 8, 9;
5. 1, 2, 3, 4, 6, 7;
6. 1, 2, 3, 4, 5, 9;
7. 1, 2, 3, 4, 5, 8.

Że 6 zakładów nie wystarczy, pokazuje połączenie twierdzenia Mantela z teorii grafów (daje co najmniej 6) i pełnego przeszukania komputerowego (wyklucza 6). Dla 10 liczb dokładnej odpowiedzi nie znamy: potrzeba od 11 do 14 zakładów. To ten sam rodzaj problemów co pokrycia kombinatoryczne, w których wiele wartości wciąż pozostaje nieznanych.

Czy system skrócony zwiększa szanse?

Nie. Każdy zakład — niezależnie od tego, które liczby skreślisz — ma taki sam rozkład trafień: średnio 36/49, czyli ok. 0,73 trafienia. Wartość oczekiwana kilku zakładów jest sumą wartości oczekiwanych pojedynczych zakładów, więc 4 zakłady systemu skróconego dają średnio tyle samo co 4 dowolne inne zakłady. Układ zmienia tylko to, jak wygrane rozkładają się między losowania: przy rzadkim warunku coś jest pewne, w pozostałych losowaniach nie ma żadnej obietnicy.

Gwarancja dotyczy też stopnia wygranej, a nie kwoty. Kwoty za czwórkę i piątkę w Lotto zależą od liczby zwycięzców w danym losowaniu.

Policz sam

• Systemy skrócone — gotowe układy z gwarancją dla 7, 8 i 9 liczb, rozpisane na Twoje liczby.
• Kalkulator kombinacji systemowych — ile zakładów i jaki koszt ma system pełny.
• Kalkulator szans wygranej — szansa dowolnej liczby trafień jednego zakładu.

Czytaj więcej

• Systemy skrócone i pełne — czym się różnią
• Jak oblicza się szanse w Lotto
• Akademia prawdopodobieństwa